$f(U)=U$ pero $f$ no es inyectiva.

Question

Me dieron este ejercicio:

Dejemos que $U=\{(x,y): 1<x^2+y^2<2\}$ y $f:U\rightarrow \mathbb {R^2}$ definido por:

$$f(x,y)=\left(\frac {x^2-y^2}{r},\frac {2xy}{r}\right)$$

donde $r=\sqrt {x^2+y^2}$ .

Entonces tengo que demostrar que $f(U)=U$ pero $f$ no es inyectiva... Creo que las coordenadas polares podrían ayudar... pero ¿cómo? Estoy algo atascado.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

$f$ no es inyectiva porque $f(-x,-y)=f(x,y)$ Así, por ejemplo, los dos puntos $(-1,-1)$ y $(1,1)$ se asignan al mismo punto $(0,\sqrt2)$ . Las coordenadas polares son un buen comienzo. Escriba $$x=r \cos(\phi)$$ $$y=r \sin(\phi)$$ Entonces $$f(x,y)=\left(\frac {r^2\cos^2(\phi)-r^2\sin^2(\phi)}{r},\frac {2r \cos(\phi)r \sin(\phi)}{r}\right)=\left(r(\cos^2(\phi)-r^2\sin^2(\phi)),r(2\sin(\phi)\cos\phi))\right)=\left(r\cos(2\phi),r\sin(2\phi)\right)$$ Así que, $f$ envía $(r,\phi)$ a $(r,2\phi)$ . Desde $U$ es sólo el anillo $1<r<\sqrt 2$ y $r$ es invariante bajo $f$ , $f$ envía $U$ a $U$ y cada $(r,\phi) \in U$ tiene exactamente dos preimágenes $(r,\phi/2)$ y $(r,\phi/2+180°)$

Answer 2

Con coordenadas polares:

$$x=r\cos t\,\,,\,\,y=r\sin t\,\,,\,\,r\geq 0\,\,,\,0\leq t\leq 2\pi\Longrightarrow$$

$$U=\{(r,t)\;;\;\;1<r^2<2\}\,\,,\,f(r,t)=\left(r\cos 2t\,,\,r\sin 2t\right)$$

Así, $\,f(r,t)=f(r,t+\pi)\,$

Answer 3

Utiliza los números complejos.

Dejemos que $z = x+iy$ entonces $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ y $z^2 = (x^2-y^2)+2ixy$ . Por lo tanto, la función compleja: $f : z \mapsto z^2/|z|$ se puede identificar con su función tomando la parte real como primera coordenada y la parte imaginaria como segunda coordenada.

Usted ha $U = \{z \in \mathbb{C} : 1 < |z|^2 < 2 \}.$ Dejemos que $z \in U$ y considerar

$$|f(z)| = \left|\frac{z^2}{|z|}\right| = \frac{|z|^2}{|z|} = |z|$$

De ello se desprende que $|z| = |f(z)|.$ Así, $z \in U \iff f(z) \in U.$ Considere los dos hechos: $z \in U \implies f(z) \in U$ nos dice que $f(U) \subseteq U,$ mientras que $f(z) \in U \implies z \in U$ nos dice que $U \subseteq f(U).$ De ello se desprende que $U = f(U).$

La función es claramente no inyectiva ya que $f(\pm 1) = 1.$ En mi notación $1 = 1 + 0i \in \mathbb{C},$ que corresponde a $(1,0) \in \mathbb{R}^2$ en su anotación.

Answer 4

Una pista:

Teniendo en cuenta algunos $(x',y')$ s.t $$1<x'^{2}+y'^{2}<2$$ resolver $$x'=\frac{x^{2}-y^{2}}{r},y'=\frac{2xy}{r}$$ para $x,y$ y demostrar que $1<x^{2}+y^{2}<2$ .

Eso demuestra que $U\subseteq f(U)$ .

Para demostrar $f(U)\subseteq U$ que $x,y$ s.t $$1<x^{2}+y^{2}<2$$ y demostrar que $$1<\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{r}\right)^{2}+\left(\frac{2xy}{r}\right)^{2}<2$$

Ambos se hacen con álgebra relativamente sencilla.