Forma bilineal y espacio de cociente

Question

Dejemos que $U,V$ sean dos espacios vectoriales de dimensión finita de un campo $K$ y que $f:U \times V \to K$ una forma bilineal. El conjunto $U_0 = \{u \in U: f(u,v) = 0,\forall v \in V \}$ se llama el núcleo izquierdo de $f$ y $V_0 = \{v \in V: f(u,v) =0, \forall u \in U\}$ se llama el núcleo derecho de $f$ .

Demuestra que $\dim U/U_0 = \dim V/V_0$ y los núcleos de $g: U/U_0 \times V/V_0 \to K$ dado por $g(u+U_0,v+V_0) = f(u,v)$ es el espacio nulo.

La segunda afirmación es obvia, pero ¿cómo puedo demostrar la primera? $\dim U/U_0 = \dim V/V_0$ .

Answer 1

Utilizando la forma bilineal, se obtiene un mapa lineal $U/U_0 \to (V/V_0)^*$ y esto es inyectivo. Ahora compara las dimensiones y obtienes una desigualdad (los espacios son de dimensión finita, por lo que los espacios duales no cambian la dimensión).