Hallar el cambio de dirección dados tres puntos

Question

Hay tres puntos con $(x,y)$ coordenadas, $A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2), C=(x_3, y_3)$ . Quiero averiguar el cambio de dirección si se sigue una línea recta desde $A$ a $B$ y luego de $B$ a $C$ , que será el $\theta$ ángulo en la figura.

La magnitud de $\theta$ es fácil de calcular utilizando el producto punto. Si definimos $\mathbf{v}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ y $\mathbf{w}=(x_3-x_2, y_3-y_2)$ entonces $\theta=\arccos \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\lVert \mathbf{v}\rVert \lVert \mathbf{w}\rVert}$ .

Esta es mi pregunta. También me interesa saber si $\overrightarrow{BC}$ se encuentra a la izquierda de la dirección de $\overrightarrow{AB}$ (como se muestra en la figura) o a la derecha. ¿Cómo puedo conseguirlo de forma sencilla?

Answer 1

Dejemos que $\mathbf{v}=(v_1, v_2)$ y $\mathbf{w}=(w_1, w_2)$ sean los vectores. El seno del ángulo $\theta$ pasando de $\mathbf{v}$ a $\mathbf{w}$ es proporcional al siguiente determinante:

$$D=\begin{vmatrix} v_1 && v_2 \\ w_1 && w_2 \end{vmatrix}$$

Si $D>0$ entonces está girando a la izquierda; de lo contrario, está girando a la derecha.

Obsérvese que éste es simplemente el cálculo pertinente al elevar ambos vectores a $\mathbb{R}^3$ y utilizando el producto cruzado.

Answer 2

Puede levantar la situación de $\mathbb R^2$ a $\mathbb R^3$ al establecer $\vec a = \begin{pmatrix} \vec v \\0 \end{pmatrix}$ y $\vec b = \begin{pmatrix} \vec w \\0 \end{pmatrix}$ y luego utilizando el producto cruzado:

Si $\vec a \times \vec b$ tiene un resultado positivo $z$ coordenada, se obtiene una dirección, si tiene una $z$ coordina la otra.

Un alternativa (pero cuando se trata del cálculo es básicamente idéntico) es calcular primero un vector perpendicular $\vec v^\perp := \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\vec v$ y luego ver si el producto escalar $\vec v^\perp \cdot \vec w$ es mayor o menor que cero.