Estoy leyendo el libro de Knutson sobre espacios algebraicos, y me he tropezado con el axioma de cuasi-separación en su definición de espacios algebraicos (Definición 1.1, Capítulo II). Él define un espacio algebraico A como una gavilla en el sitio de los esquemas con la topología étale satisfaciendo:
I) Representabilidad local. Existe un recubrimiento étale representable $U \rightarrow A$ , $U$ un esquema.
II) Cuasi-separación. El mapa $U \times_A U \rightarrow U \times U$ es cuasi-compacto.
En una observación técnica (1.9) al final de la sección, argumenta que el supuesto de cuasi-separación es necesario para la existencia de productos de fibra en la categoría de espacios algebraicos. En mi opinión, esto es erróneo. Por ejemplo, la prueba de la existencia de productos de fibra para los esquemas dada por Hartshorne se traslada a los espacios algebraicos sin problemas, incluso si sólo asumimos la representabilidad local.
Esto me hace preguntarme, ¿sería más natural tomar sólo la representabilidad local como requisito para los espacios algebraicos, o nos encontramos con problemas más adelante?
A veces se ven definiciones informales de espacios algebraicos como el cierre de esquemas bajo relaciones de equivalencia étale en la categoría de gavillas étale. ¿En qué sentido es esto cierto? Aquí me parece que realmente necesitamos el axioma de cuasi-separación (o algo similar), ya que necesitamos una relación de equivalencia étale $R \rightarrow U \times U$ para satisfacer el descenso efectivo con el fin de obtener la representabilidad local para su cociente.
