¿Cómo podemos mostrar $$\alpha_p\wedge\beta _q=(-1)^{pq}\beta_q\wedge\alpha_p$$ para el producto cuña de una forma p- y q-
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que conoces la relación anticomutativa del producto cuña, $dx_i\wedge dx_j = -dx_j\wedge dx_i$ . La idea es que movemos los términos uno a uno, lo que añade potencias al signo menos.
Basta con mostrar esta propiedad para el $p$ y $q$ con un término, ya que podemos extender el argumento linealmente utilizando las propiedades del producto cuña. Sea $\alpha_p = a_I dx_I$ y $\beta_q = b_J dx_J$ . Esta notación sólo significa que para $I = \{i_1, \dotsc, i_p\}$ , $$dx_I = dx_{i_1}\wedge\dotsm\wedge dx_{i_p},$$ y de forma similar para $J = \{j_1,\dotsc, j_q\}$ . Tenemos entonces el siguiente cálculo: \begin{align*} \alpha_p\wedge\beta_q &= a_Ib_J dx_I\wedge dx_J \\ & = a_I b_J dx_{i_1}\wedge\dotsm\wedge dx_{i_p}\wedge dx_{j_1}\wedge\dotsm \wedge dx_{j_q} \\ & = a_I b_J (-1)^p dx_{j_1} \wedge dx_{i_1}\wedge\dotsm\wedge dx_{i_p} \wedge dx_{j_2}\wedge\dotsm \wedge dx_{j_q} \\ & = a_Ib_I (-1)^{pq} dx_{j_1}\wedge \dotsm \wedge dx_{j_q}\wedge dx_{i_1}\wedge \dotsm \wedge dx_{i_p} = (-1)^{pq} \beta_q\wedge \alpha_p \end{align*} donde trasladamos el $dx_{j_1}$ término $p$ posiciones en la tercera línea (lo que nos da un factor de $(-1)^p$ ), y en la última línea, hemos desplazado cada uno de los restantes $(q-1)$ $dx_j$ formularios $p$ posiciones a la izquierda en el producto de la cuña.
