Estoy leyendo un artículo de ciencias atmosféricas (B. J. Hoskins, 1985) y tropiezo con una ecuación diferencial parcial de segundo orden que, tras cierta simplificación, dice aproximadamente lo siguiente \begin{align*} \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial (rv)}{\partial r}) + \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} &= \frac{\partial P}{\partial r} \\ \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r} - \frac{v}{r^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} &= \frac{\partial P}{\partial r} \end{align*} donde $v(r, t)$ es una función de $r$ y $t$ . $P$ es una cantidad que tiene un valor de $1+\epsilon$ dentro de la región circular $r^2 + t^2 = C^2$ y y $1$ fuera del círculo, donde $\epsilon$ es un número muy pequeño. Las condiciones de contorno deben ser $v = 0$ cuando $r \to 0$ y $r \to \infty$ . La solución dada en el documento es \begin{align*} v &= \frac{1}{3} \epsilon r & r^2 + t^2 < C^2 \\ v &= \frac{1}{3} \epsilon r (\frac{C^2}{r^2 + t^2})^{3/2} & r^2 + t^2 > C^2 \end{align*} El documento afirma que se trata de un ejercicio teórico sencillo, pero no tengo ni idea de cómo llegar a la solución dada. He intentado la separación de variables, pero a lo sumo puedo deducir que $v \propto r$ dentro de la región circular. La transformada de Laplace y la transformada de Fourier parecen inútiles. He intentado utilizar el Principio de Duhamel pero mi respuesta es errónea. Estoy pensando si se pueden aplicar algunas transformaciones. ¿Puede alguien darme alguna sugerencia? Cualquier ayuda será apreciada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?He encontrado una forma (aunque no perfecta) de derivar la solución de forma razonable. Primero haz una transformación $Q = v/r$ para simplificar la ecuación, dejando tres términos en la misma. Entonces, por observación, una solución para $Q$ es una constante. Otra solución para $Q$ está motivada por el límite circular. Sea $z = r^2 + t^2$ y asumir que la solución es únicamente una función de $z$ . Por la regla de la cadena, la ecuación puede transformarse en una ecuación ordinaria en $z$ y es posible obtener otra solución $1/z^{3/2}$ . Debido a la física, sabemos que $Q = \alpha$ dentro del círculo, y $Q = \beta/z^{3/2}$ fuera del círculo. Por último, consideramos la diferencia de P a través de la interfaz. Integrando sobre una pequeña vecindad en la interfaz, $\alpha$ y $\beta$ se puede determinar.
