Dejemos que $f: X \longrightarrow Y$ sea un morfismo de variedades sobre $\mathbb{C}$ y suponer que es finita de grado 1, es decir, que es suryente y $$ [K(Y):K(X)] = 1 \quad \quad (*) $$ es decir, los campos de funciones son isomorfos.
Ya que se puede demostrar $f$ para ser plana, esto significa que todas sus fibras consisten en un solo punto, por lo que el morfismo es unramificado y por lo tanto étale (ver algún ejercicio en Hartshorne en el capítulo sobre morfismos suaves). También es biyectivo.
Ahora, para demostrar que $f$ es un isomorfismo se puede utilizar la topología euclidiana y el hecho de que las coberturas étale inducen isomorfismos en los espacios tangentes en todos los puntos, por lo que $f$ es euclidiano-localmente un isomorfismo. Como también es biyectiva, es un isomorfismo global.
¿Alguien podría darme una prueba corta y elegante que funcione en todas las características? O si esto no es cierto, una prueba algebraica sobre $\mathbb{C}$ ?
Si esta prueba funciona de forma más general para ciertos esquemas, también me gustaría saberlo.
Idea 1: A nivel local $f$ está dada por una inclusión de anillos $R \rightarrow S$ y espero de alguna manera deducir de $(*)$ que $S$ es un $R$ de rango 1, por lo que efectivamente $R \cong S$ y se hace localmente, por lo tanto también globalmente
Idea 2: Por $(*)$ , $X$ y $Y$ son biracionales, pero no estoy seguro de cómo continuar desde aquí.
Lo más probable es que se trate de una simple aplicación de los conocimientos de álgebra conmutativa que me faltan. ¡Gracias!
Editar: ¡Esto es incorrecto! Trabajé con la suposición de variedades suaves pero no lo mencioné. La lisura es necesaria para demostrar la planitud (ejercicio de Hartshorne III.9.3(a)) y sin ella el razonamiento colapsa, como señala Georges más abajo. Me pareció más natural cerrar ésta y publicar una nueva pregunta, que se puede encontrar en Una buena prueba para étale de grado 1 implica isomorfismo.
