Probar que un cuadrado es homeomorfo a un círculo

Question

<blockquote> <p><span class="math-container">$s:=\{|x|\le 1,|y|\le 1\} $</span></p> <p><span class="math-container">$c:=\{{x}^{2}+{y}^{2}\le1\}$</span></p> <p>Probar <span class="math-container">$\overset{\circ}{s} \cong \overset{\circ}{c}$</span></p> </blockquote> <p>De acuerdo... no para saber qué hacer.</p> <p>Creo que <span class="math-container">$\overset{\circ}{s} \to\overset{\circ}{c}$</span> es algo así como:</p> <p><span class="math-container">$$(x,y)\rightarrow\left(\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}},\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}\right)$$</span> ¿Cuál es la inversa para esto? ¿Necesito un inverso? ¿Acabo de probar que la función es continua y la inversa es continua?</p> <p>Por favor, ayuda...</p>

Answer 1

Sugerencia: El isomorfismo viene dado por $$\phi\colon\overset{\circ}{c}\to\overset{\circ}{s}\colon (x,y)\mapsto\begin{cases} (0,0) & x=y=0 \\left(\frac{x}{|x|}\sqrt{x^2+y^2},\frac{y}{|x|}\sqrt{x^2+y^2}\right) & |x|\geq|y| \ \left(\frac{x}{|y|}\sqrt{x^2+y^2},\frac{y}{|y|}\sqrt{x^2+y^2}\right) & |x|

Answer 2

No es necesario encontrar lo inverso porque estos dos espacios son compactos.