Logaritmos complejos: Explicación detallada de por qué $\operatorname{Log} z^2$ no es igual a $2\operatorname{Log}z$

Question

¿Por qué es $\operatorname{Log} z^2$ no es igual a $2\operatorname{Log} z$ donde $z$ es un número complejo.

$\operatorname{Log} z$ aquí se refiere sólo al tronco principal.

Se agradecería una explicación detallada, ¡gracias!

Answer 1

Si el argumento de $z$ está entre $\pi/2$ y $\pi$ , entonces se puede ver que $\log(z^2)$ no puede ser $2\log z$ ya que $2\log z$ tendrá una parte imaginaria demasiado grande para ser el valor principal de un logaritmo.

Answer 2

Por definición, el valor principal $\text{Log}\; z$ es el número complejo $w$ con $e^w = z$ y $-\pi < \text{Im}(w) \le \pi$ . Si $w = \text{Log}\; z$ , $2w$ es un logaritmo de $z^2$ (es decir $e^{2w} = (e^w)^2 = z^2$ ), pero no tiene derecho a esperar $-\pi < \text{Im}(2w) \le \pi$ . De hecho, sólo será así si $-\pi/2 < \text{Im}(w) \le \pi/2$ .

Answer 3

Para cualquier $z\in\mathbb{C}$ el valor principal del logaritmo es $$\log z = \log |z| + i \arg z,$$ donde $\arg z \in (-\pi, \pi]$ . Tenga en cuenta que $\arg (z_1 z_2)=\arg z_1 + \arg z_2 +2\pi n$ , donde $n$ debe ser elegido para mantener el resultado en $(-\pi, \pi]$ : más precisamente, $$ \arg(z_1z_2)=\arg z_1 + \arg z_2 - 2\pi\left[\frac{\arg z_1 + \arg z_2}{2\pi}\right], $$ donde $[x]$ es el número entero más cercano a $x$ .

Así que $$ \log z^2=\log |z^2| + i \arg z^2=2\log|z|+i\arg z^2\\=2\log z+i\left(\arg z^2 - 2\arg z\right)\\=2\log z -2\pi i \left[\frac{\arg z}{\pi}\right]. $$ En particular, $\log z^2$ puede ser $2\log z$ o $2\log z\pm 2\pi i$ dependiendo del cuadrante del plano complejo que contenga $z$ .