Acción fiel o libre en la definición del espacio afín

Question

Para un espacio vectorial $T$ sobre un campo $K$ Bourbaki define el espacio afín como un espacio homogéneo $T$ -Configurar $E$ en el que $T$ actúa fielmente . Las definiciones encontradas tanto en Wikipedia como en nlab dicen que la acción debe ser gratis . Obsérvese que Bourbaki define una acción fiel como aquella que incrusta $T$ en el grupo simétrico de $E$ . ¿Es una errata? ¿Quiere decir libre en su lugar?

Editar : Incluso la versión francesa del libro utiliza "fidèlement" en lugar de "librement".

Answer 1

Si $T$ es un grupo abeliano y $E$ es una homogeneidad $T$ -set, entonces $E$ es fiel si es libre, por lo que las dos definiciones son equivalentes. En efecto, el núcleo de la acción es la intersección de los estabilizadores de todos los puntos. Dado que $E$ es homogénea, los estabilizadores de dos puntos cualesquiera son conjugados, lo que significa que son iguales ya que $T$ es abeliano. Entonces la acción es fiel si los estabilizadores son triviales, es decir, si la acción es libre.