Límite del grado (anticanónico) de las variedades tóricas de Fano

Question

¿Existe una constante universal $C \geq 1$ de manera que si $X$ es cualquier liso, tórico, Fano $n$ -que admite una métrica de Kähler-Einstein, entonces su grado anticanónico $(-K_X)^n$ es como máximo $C^n (n+1)^n$ ?

Esto se desprende del debilitamiento de la conjetura de Ehrhart que propuse en Solicitud de referencia: Conjetura de Ehrhart sobre la geometría de los números (o al menos esto es lo que entiendo de la lectura de la página 6 del documento de Nill y Paffenholtz http://front.math.ucdavis.edu/0905.2054 ).

Me pregunto:

1. ¿Se sabe esto?

2. ¿Esto es interesante?

Mis conocimientos de geometría algebraica son lamentables así que por favor no se ofendan si la pregunta es realmente ingenua. Sólo intento ver qué posibles consecuencias interesantes podría tener la conjetura debilitada.

Answer 1

El contraejemplo de Debarre es el siguiente: Consideremos el haz proyectivo $$\pi:X=\mathbb{P}(O_{\mathbb{P}^s}^{\oplus r}\oplus O_{\mathbb{P}^s}(a))\to P^s,$$ que es una variedad tórica suave. Aquí $$-K_X\sim (r+1)O_X(1)+(s+1-a)\pi^*H$$ donde $H$ es un hiperplano en $\mathbb{P}^s$ . Si $0\le a\le s$ También es una variedad de Fano, como se puede comprobar utilizando el criterio de Kleiman. Además, utilizando la relación $O_X(1)^{\cdot(r+1)}=a\pi^*H \cdot O_X(1)^{\cdot r}$ Debarre encuentra después de fijar $a=n-r$ que $$(-K_X)^n=(-K_X)^{r+s}\ge (r+1)^n (n-r)^{n-r}> \left(\frac{3n^2}{10\log n}\right)^n$$ En particular, el $n$ -La raíz de la primera es ilimitada, ya que $n\to \infty$ .

Answer 2

Creo que la respuesta a esto es no. De hecho, según [1], no existe una cota polinómica universal para el $n$ -raíz de $c_1(X)^n$ ya que X recorre todos los fanos tóricos de dimensión n (esto está referenciado a Debarre pero me temo que no tengo esta fuente conmigo en este momento).

Por el contrario, el propósito de [1] es demostrar que tal límite existe si se restringe a las métricas de Kahler-Einstein.

[1] El espacio proyectivo tiene el máximo volumen entre todas las variedades tóricas de Kähler-Einstein Robert J. Berman, Bo Berndtsson http://arxiv.org/abs/1112.4445