Convergencia en la distribución y $L^1$ -convergencia de $f(X_n)$

Question

Dejemos que $X_n$ y $X$ sean variables aleatorias independientes. Si $X_n \to X$ débilmente, entonces $E|f(X_n)-f(X)|\to 0$ para una función continua acotada $f$ ?

Debido a la convergencia en la distribución, existen $Y_n,Y$ s.t, $Y_n\to Y$ a.s., $X_n=Y_n$ y $X=Y$ en la distribución. Entonces, por el teorema de Lebesgue $E|f(Y_n)-f(Y)|\to 0$ .

Pero no sé si se mantiene que $E|f(X_n)-f(X)|=E|f(Y_n)-f(Y)|$ .

¿Alguien puede probar esta propiedad?

Answer 1

No es cierto. Deja que $(X_n)$ sean i.i.d con distribución normal estándar. Entonces $X_n \to X_1$ débilmente y $-X_n \to X_1$ débilmente (por simetría de la distribución). Si el resultado es cierto, entonces $E|sin (X_n)-\sin (X_1)| \to 0$ y $E|-sin (X_n)-\sin (X_1)| \to 0$ . Por la desigualdad del triángulo esto da $2 E|sin (X_n)| \to 0$ . Pero $ E|sin (X_n)|= E|sin (X_1)|>0$ .