Valor intermedio de una función vectorial

Question

Consideremos una función vectorial $f: [0,1]^n\rightarrow[0,1]^n$ . Escriba $f(x)=\{f_1(x), ..., f_n(x)\}$ con $x\in[0,1]^n$ donde el $f_i: [0,1]^n\rightarrow[0,1]$ son funciones continuas con las siguientes propiedades:

1) $f_i(\{x_1, x_2, ..., x_n\})=0$ si $x_i=0$ .

2) $f_i(\{x_1, x_2, ..., x_n\})=1$ si $x_i=1$ .

Arreglar $p\in[0,1]^n$ . Quiero demostrar que existe una solución $x\in[0,1]^n$ , de tal manera que $f(x)=p$ .

Si pensamos que esto debería ser cierto, ya que por el teorema del valor intermedio, sabemos que para un $x_2$ , ..., $x_n$ podemos encontrar $x_1$ tal que $f_1(\{x_1, x_2, ..., x_n\})=p_1$ (y de forma similar para $f_2$ podemos encontrar un $x_2$ si arreglamos el otro $x_i$ 's).

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Esto tiene su propio Entrada de Wikipedia Teorema de Poincaré-Miranda y es similar al teorema del punto fijo de Brouwer.

Answer 2

Se trata de una aplicación directa de la teoría de los grados.

En primer lugar, por inducción se puede reducir al caso cuando $p\in(0,1)^n$ .

Entonces, observe que la homotopía lineal entre $f$ y el mapa de identidad tal que la imagen del límite de la caja unidad permanece en el límite. Así,

$$\deg(f,(0,1)^n,p)=\deg(I,(0,1)^n,p)=1$$ .

De ello se desprende que $f(x)=p$ tiene al menos una solución.

Referencia: Ambrosetti y Machiodi Análisis no lineal y ecuaciones elípticas semilineales