¿Me pueden ayudar a demostrar el ejemplo 7.15 de la página 111 de "Matrix groups for undergraduate, 1st" de Tapp?
Dejemos que $G_1$ y $G_2$ sean grupos matriciales con álgebras de Lie $g_1$ y $g_2$ respectivamente. Sea $f:G_1\rightarrow G_2$ ser un $C^1$ homomorfismo. Denotemos el diferencial de $f$ en el elemento de la unidad $I$ por $df_I:g_1\rightarrow g_2$ . Demostrar que para todo $v\in g_1$ , $$f(e^v)=e^{df_I(v)}.$$
Intenté expandir la exponencial en ambos lados usando la fórmula
$e^v = I+v+1/2v^2+1/6v^3 +...$
y consiguió
$f(v)=df_I(v)$
que no tengo ninguna pista para probar.
¿Algún consejo?
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Hay muchas formas de definir el mapa exponencial y el diferencial de una función y la forma de responder a esta pregunta va a depender de cuál de esas definiciones estés utilizando. No tengo acceso al libro de Tapp, ¿puedes decir cuáles son tus definiciones?
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@Jim Gracias por el interés. La exponencial matricial se define como escribí en el post. La diferencial se define como en manifold, que es un mapa lineal de un espacio tangente a otro espacio tangente.