Pregunta ingenua sobre los colectores

Question

En este video de youtube por XylyXylyX explicando curvas en variedades diferenciables se presenta el siguiente dibujo:

con $(X,\mathcal T_X,\mathcal A)$ denotando un espacio topológico, es decir $(X,\mathcal T_X),$ con Housdorff, la segunda contabilidad y la paracompacidad, y un atlas, $\mathcal A;$ $f(\lambda)$ trazando la línea real al colector: $\mathbb R \to X$ para parametrizar la línea en negro en el colector; y $\gamma$ y $\phi$ representación de gráficos $X\to \mathbb R^2$ (o $\mathbb R^d)$ para diferentes regiones de la carta $U$ y $V.$

Está claro cómo después de aterrizar con seguridad en el espacio euclidiano a través de $\gamma$ y $\phi$ podemos aplicar el cálculo; sin embargo, y antes de llegar allí (o de cambiar las coordenadas) tenemos que pasar por $X$ . Y si $X$ no está en el espacio euclidiano,

¿Qué forma matemática tiene $f$ ¿Asumir? No puede ser $y = f(\lambda),$ lo que implicaría coordenadas.

¿Puedo tener un ejemplo (que no sea el mapamundi estereográfico)?

Answer 1

Definimos la diferenciabilidad de los mapas entre variedades (y muchas otras cosas) en representaciones de coordenadas porque es precisamente la única forma en que podemos tratarlos "concretamente".

Si quiere dar explícitamente una curva $\gamma:\mathbb{R}\rightarrow M$ siempre darás $(\varphi\circ\gamma)(t)=(x^1(t),...,x^n(t))$ . Si quieres dar explícitamente una función $f:M\rightarrow\mathbb{R}$ Siempre darás $(f\circ\varphi^{-1})(x^1,...,x^n)$ .

La construcción se mantiene porque la diferenciabilidad (y otras propiedades) no dependen de las coordenadas. Verás, si sólo permitimos $C^{\infty}$ transformaciones de coordenadas, entonces si $\varphi$ y $\psi$ son ambas funciones gráficas, entonces si, por ejemplo $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ es un $C^k$ porque $f\circ\varphi^{-1}$ es $C^k$ entonces $f\circ\psi^{-1}=f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\psi^{-1}=(f\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\psi^{-1})$ donde la expresión en el primer paréntesis es $C^k$ por nuestro postulado (pero se puede comprobar explícitamente, ya que esto es sólo una $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ ), y la expresión en el segundo paréntesis es una función de cambio de coordenadas, que es $C^{\infty}$ porque ambos gráficos forman parte del atlas liso máximo del colector.

Ahora, la composición de un $C^k$ con una función $C^{\infty}$ la función es $C^{k}$ por lo que si la representación de coordenadas $f\circ\varphi^{-1}$ es $C^{k}$ para un gráfico cualquiera, entonces la representación de coordenadas $f\circ\psi^{-1}$ también será $C^{k}$ automáticamente .

Las formas sin coordenadas están ahí sólo para hacer afirmaciones "teóricas" o "abstractas". Cuando se quiere calcular cosas explícitamente, la única manera de hacerlo es trabajando directamente con las representaciones $f\circ\varphi^{-1}$ y similares.

Answer 2

$f$ es una función que toma un número real y devuelve un punto en $X$ . Si no tiene una definición concreta de $X$ (quizás como un subconjunto de $R^n$ ) y no se utilizan coordenadas, entonces no se puede escribir una fórmula para $f$ porque los elementos de $X$ son sólo puntos abstractos.

Answer 3

Sin embargo, a veces existe realmente una función f explícita. Considere un conjunto de, digamos, para números ordenados (x,y,z,w) tal que la suma de sus cuadrados es igual a la constante A. Ese conjunto es "M" en el diagrama anterior. Se puede construir fácilmente una función desde [0,1] hacia ese conjunto de cuádruples de orden. Resulta que M es un colector, y se le pueden dar coordenadas (de forma casi obvia) y un atlas. "F" puede construirse explícitamente y también los mapeos de la carta.

Prohibiste la proyección estereográfica como ejemplo, esa sería una forma de construir gráficos en este caso. Sin embargo, hay otras. Muchas otras.

En cuanto al espaciotiempo, estamos tratando con la idea abstracta del espaciotiempo como el conjunto M. Por eso es un axioma de la RG de que el espaciotiempo es una variedad de 4 dimensiones. Esta suposición garantiza que podemos hacer todo en términos de algún conjunto de coordenadas. La siguiente suposición es que las leyes de la naturaleza no dependen de la elección de las coordenadas y eso lleva a que todas las leyes estén en forma tensorial. Así que el "conjunto real M del espaciotiempo" está ahí para ayudarnos a entender que estamos modelando el espaciotiempo a través de las matemáticas de un colector.