Inverso del mapa de proyección en la topología del producto que define la sub-base.

Question

Tengo $(X,\tau_X)$ y $(Y,\tau_Y)$ - dos espacios topológicos. Consideremos $U\subseteq X$ y $V\subseteq Y$ y dos mapas de proyección $\pi_X: X\times Y \to X$ y $\pi_Y: X \times Y \to Y$ . Entonces es bien sabido que $$\mathcal B = \{\pi_X^{-1}(U): U \in \tau_X\} \cup \{\pi_Y^{-1}(V): V \in \tau_Y\}$$ es una sub-base para la topología del producto en $X\times Y$ . Me pregunto sobre ese mapeo inverso porque puedo tomar $U_1 \times V_1$ y $U_1 \times V_2$ entonces usa $ \pi_X(X \times V) $ y tengo $ U_1 $ que está abierto. Entonces estoy usando $ \pi_X^{-1}(U) $ Tengo una ambigüedad en el resultado ya que puedo tener dos resultados $ U_1 \times V_1 $ y $ U_1 \times V_2 $ , entonces el inverso no es un mapa. Dónde falla mi lógica, señálame por favor?

Answer 1

Por definición de la cartografía inversa para $U \in \tau_X$ ,

$$\pi_X^{-1}(U) = \{(x,y) \in X \times Y \mid \pi_X(x,y) \in U\} = U \times Y.$$

Así que no veo realmente dónde está la ambigüedad. Para ser más específicos, no tienes la igualdad $\pi_X^{-1}(U) = U \times V$ para $V \subsetneq Y$ .