La imagen de $L^2(S^1)$ bajo la transformada de Fourier

Question

Mi conferenciante ha dicho las siguientes tres afirmaciones:

1. La imagen de la transformada de Fourier en la función Schwartz en $\mathbb{R}$ es la función de Schwartz en $\mathbb{R}.$

2. La imagen de $L^2(S^1)$ bajo la transformada de Fourier es $l^2(\mathbb{Z})$ y la imagen de $l^2(\mathbb{Z})$ bajo su transformada de Fourier es $L^2(S^1)$ .

Aquí, $S^1$ indica el círculo de la unidad. No necesito una prueba rigurosa de estas afirmaciones. Sólo quiero una explicación sencilla de por qué se sostiene. Especialmente para el número $2$ la transformada de Fourier en $L^2(S^1)$ donde $f\in L^2(S^1)$ se da $\hat{f}(k)=\int_0^1f(\theta)e^{-2\pi ik\theta}d\theta$ . Pero por qué esto nos dice que la imagen es $l^2(\mathbb{Z})$ ?

Answer 1

Para cualquier base ortonormal $(e_n)$ de un espacio de Hilbert cada elemento $x$ satisface la propiedad $(\langle x , e_n \rangle) \in \ell^{2}$ y cualquier secuencia $(a_n) \in \ell^{2}$ corresponde a algún $x$ con $a_n=\langle x , e_n \rangle$ para todos $n$ .