¿Tiene sentido hablar de:
$$ \lim_{i\to \aleph_0} \aleph_i $$
¿A qué tipo de infinito se acerca?
Tal vez encontrar un límite de eso no tiene sentido.
¿Qué pasa con $\aleph_{\aleph_0}$ ? ¿Qué tipo de infinito es ese?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, tiene mucho sentido. Y $\aleph$ "conmuta con lim" para que
$$ \begin{align} \lim_{n\to \aleph_0} \aleph_n &= \aleph_{lim_{n\to \aleph_0}} \\ &= \aleph_{\aleph_0} \end{align} $$
que es el menor cardinal mayor que todos $\aleph_n$ para $n < \aleph_0$ . Entre los infinitos cardenales, es el menos singular cardinal; todos los cardinales infinitos más pequeños son regular . (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_cardinal para las definiciones). Se suele escribir como $\aleph_{\omega}$ - como probablemente sabes, $\omega = \aleph_0$ Es $\aleph_0$ considerado como un ordinal, y $\aleph_{\alpha}$ se define para todos los ordinales $\alpha$ (y por tanto para todos los cardenales).
Otra característica de $\aleph_{\omega}$ lo que se desprende de que sea singular: es un limitar el cardenal un cardinal infinito sin un cardinal inmediatamente menor, es decir, no es el sucesor de otro cardenal. Todo cardinal límite es de la forma $\aleph_{\lambda}$ para $\lambda$ o bien $0$ o un límite ordinal . Así, $\aleph_0$ es un primer límite cardinal, y $\aleph_{\omega}$ es el segundo. Para cada ordinal $\alpha$ (en particular para cada número entero), $\aleph_{\alpha +1}$ es el sucesor de ${\aleph_{\alpha}}$ y todos los sucesores son regulares.
