No estoy perfectamente seguro de haber interpretado correctamente todas las nociones, no definidas en la pregunta, pero supongo que la siguiente solución está bien.
Es suficiente para probar la demanda cuando $v_i=1$ para cada $i$ . Esto nos permitirá dividir el flujo $f$ en $v(f)$ flujos con valor $1$ cada uno. Entonces, dado un natural arbitrario $v_i$ 's con $\sum v_i=v(f)$ , dividimos estos $v(f)$ en $p$ grupos que consisten en $v_1,\dots, v_p$ respectivamente, y a continuación para cada $i$ fusionamos los flujos de $i$ -a grupo en un flujo con valor $v_i$ .
Demostramos la posibilidad de dividir un flujo $f$ en $v(f)$ flujos de valor $1$ por inducción con respecto a $v(f)>0$ . Si $v(f)=1$ entonces ponemos $f_1=f$ . Supongamos que ya hemos demostrado la afirmación de $v(f)=p$ . Sea $f$ sea cualquier integral factible $s-t$ flujo en $N$ con $v(f)=p+1$ Empezar por $s$ y seguir la corriente $f$ (es decir, a lo largo de los bordes $e$ tal que $f(e)>0$ ), restando $1$ de $f$ en cada borde pasado. Dado que tanto el gráfico $G$ y el número $v(f)$ son finitas, sólo podemos restar un número finito de $1$ 's, por lo que vamos a pegar en algún paso. Como $\operatorname{netinflow}(f, v)= \operatorname{netoutlow} (f, v)$ para todos los vértices $v$ en $G$ excepto $s$ y $t$ y $\operatorname{netinflow}(f, s)=0$ podemos pegar sólo en el vértice $t$ . Así que fuimos un camino de $s$ a $t$ . Este camino dotado de los valores que hemos restado, genera naturalmente un flujo integral $f’$ de $s$ a $t$ con $v(f’)=1$ . Poniendo $f’’=f-f’$ obtenemos una integral factible $s-t$ flujo en $N$ con $v(f’)=p$ que puede dividirse en $p$ flujos requeridos por la hipótesis de inducción.
