¿Podría alguien ayudarme con el siguiente problema? Muchas gracias.
Definir $X: \mathcal{R} \times \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$ por:
$$\frac{dX}{dt}(t,x_0)=X(t,x_0)+\sin(X^2(t,x_0)),$$
$X(0,x_0)=x_0.$
Pregunta: Encuentre $\frac{\partial X}{\partial x_0}(t,0).$
A continuación interpreté su derivada total con respecto a $t$ como una derivada parcial. Willie explicó en un comentario que podría significar que $x_0$ es un parámetro. No hay ninguna diferencia sustancial entre esas dos interpretaciones, así que dejaré la respuesta en mi notación original, que considera $X$ en función de dos variables.
No me queda claro cuál es el subíndice de $x_0$ es para, ya que $x$ no aparece en ninguna parte sin ese subíndice; simplemente escribiré $x$ para simplificar las cosas.
Supondré que podemos intercambiar las derivadas parciales con respecto a $t$ y $x$ Creo que esto se desprende de la Teorema de Cauchy-Kowalevski pero, como señala Willie en su comentario, no necesitamos toda la fuerza de ese teorema en este caso.
Diferenciando la ecuación diferencial con respecto a $x$ rinde
$$ \begin{eqnarray} \def\part#1#2#3{\frac{\partial^2#1}{\partial#2\partial#3}}\def\par#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\par{}t\par Xx &=& \par{}x\par Xt \\ &=& \par{}x\left(X+\sin X^2\right) \\ &=& \par Xx+2X\par Xx\cos X^2\;. \end{eqnarray} $$
Dado que la solución para $x=0$ es $X(t,0)=0$ sustituyendo $x=0$ rinde
$$\par{}t\par Xx(t,0)=\par Xx(t,0)\;.$$
Para el valor inicial
$$\par Xx(0,0)=\left.\par{}xX(0,x)\right|_{x=0}=1\;,$$
la solución de esta ecuación diferencial es
$$\par Xx(t,0)=\mathrm e^t\;.$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
