Confusión con las derivadas parciales en conjuntos abiertos

Question

La mayoría de las veces que hablamos de las derivadas parciales de una función $f:D\subset{R^2}\rightarrow{R}$ pedimos el dominio $D$ para ser un conjunto abierto de $R^{2}$ . En mi opinión esto es muy restrictivo por lo que creo que, para determinar digamos la $\partial_1f(x_0,y_0)$ sería suficiente para el conjunto $D$ para incluir un segmento de línea horizontal que contenga el punto $(x_0,y_0)$ . Para el siguiente ejemplo, sería: $$\lim_{t\to x_0}\frac{f(t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t-x_0}=\partial_1f(x_0,y_0)$$ que en realidad significa: $$\lim_{t\to x_0^+}\frac{f(t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t-x_0}=\partial_1f(x_0,y_0)$$

Lo mismo, podemos deducir para $\partial_2f(x_0,y_0)$ y así sucesivamente. Mi pregunta es si se me escapa algo o hay algo que no se entiende bien... Gracias.

Answer 1

Aquí hay algo más que puede salir mal cuando intentamos definir gradientes o derivadas parciales sobre funciones que no están definidas sobre conjuntos abiertos:

Definir $$ \mathcal{X} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x=2y\}$$ El conjunto $\mathcal{X}$ no es abierto. Definir funciones (convexas) $f:\mathcal{X}\rightarrow\mathbb{R}$ y $g:\mathcal{X}\rightarrow\mathbb{R}$ por $$ f(x,y) = x+y \quad, \quad g(x,y) = 3y $$ Podríamos estar tentados de decir que los "gradientes" de $f$ y $g$ son $$ \nabla f(x,y) = [\partial f/\partial x; \partial f/\partial y] = [1; 1] \quad, \quad \nabla g(x,y) = [\partial g/\partial x; \partial g/\partial y] = [0; 3]$$ Sin embargo, fíjate que, de hecho, $f$ y $g$ ¡son exactamente la misma función! Así que la noción de "gradiente" no es necesariamente clara (o única) cuando la función no está definida sobre un conjunto abierto.

Por otra parte, ambos $[1;1]$ y $[0;3]$ son subgradientes de la función (en cada punto de su dominio $\mathcal{X}$ ).