Suponemos que existe un homomorfismo de anillo $f:k[x,y]/(\phi(x,y))\to k[t]/(t^2)$ que satisfagan unas condiciones determinadas.

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, $r \in k$ y $\phi(x,y)=\sum a_{ij}x^iy^j\in k[x,y]$ . Suponemos que existe un homomorfismo de anillo $$f:k[x,y]/(\phi(x,y))\to k[t]/(t^2)$$ satisfactorio: $f(a+(\phi(x,y)))=a+(t^2)$ para cualquier $a \in k$ ; $f(x+(\phi(x,y)))=t+(t^2)$ ; y $f(y+(\phi(x,y)))=r\cdot t+(t^2)$ .

Mis preguntas son las siguientes:

(1) Encontrar las condiciones de $r$ y $a_{ij}$ .

Es fácil ver que $(y-rx)+(\phi)\in \ker f$ . Sea $p(x,y)+(\phi) \in \ker f$ . Dividir como polinomios de $y$ $p(x,y)=(y-rx)q(x,y)+h(x)$ entonces $h(x)\in \ker f$ es decir $h(t)=0$ . Por lo tanto, $h=0$ . Tenemos $\ker f =(y-rx)+(\phi)$ . Para encontrar una condición necesaria para $r$ y $a_{ij}$ Calculo $0=f(\phi)=\sum f(a_{ij})f(x)^if(y)^j=\sum a_{ij}r^jt^{i+j} +(t^2)$ . Esto significa que, $a_{00}=0$ y $a_{ij}r=0$ para todos $i+j>0$ . ¿Es ésta una condición suficiente para $r$ y $a_{ij}$ ?

(2) Si existe de forma única $r$ para $\phi(x,y)$ Describa $r$ por medio de $a_{ij}$ .

No podía entender la importancia de la singularidad de $r$ es.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Por lo tanto, tenemos un $K$ -homorfismo $f:K[X,Y]\to K[T]/(T^2)$ dado por $f(X)=t$ y $f(Y)=rt$ (aquí $t$ denota la clase de residuos de $T$ modulo $(T^2)$ ), y quiere saber cuándo $p(X,Y)\in\ker f$ . Esto equivale a $p(t,rt)=0$ Es decir, $p(T,rT)\in(T^2)$ . Pero $$p(X,Y)=a_{00}+a_{10}X+a_{01}Y+\text{terms of degree $ | 2 $}$$ y luego $$p(T,rT)=a_{00}+a_{10}T+a_{01}rT+\cdots\in(T^2)\iff a_{00}=0\text{ and }a_{10}+a_{01}r=0.$$

Esto también equivale a $p\in(Y-rX,X^2)$ Es decir, $\ker f=(Y-rX,X^2)$ .