¿Por qué es $\mathfrak{P}$ el único primo de $B$ que se encuentra en la parte superior $\mathfrak{Q}=\mathfrak{P}\cap B^\text{dec}$ ?

Question

Hay una pequeña observación que no entiendo muy bien en algunas lecturas que he hecho.

Dejemos que $A$ sea integralmente cerrado en su campo cociente $K$ y que $B$ sea su cierre integral en una extensión de Galois finita $L$ con el grupo $G$ . Sea $\mathfrak{p}$ sea máxima en $A$ y $\mathfrak{P}$ máximo en $B$ que se encuentra en la parte superior $\mathfrak{p}$ . Denote por $G_\mathfrak{P}$ el subgrupo de $G$ de automorfismos tales que $\sigma\mathfrak{P}=\mathfrak{P}$ . Denote por $L^\text{dec}$ el campo fijo de $G_\mathfrak{P}$ y que $B^\text{dec}$ sea el cierre integral de $A$ en $L^\text{dec}$ y que $\mathfrak{Q}=\mathfrak{P}\cap B^\text{dec}$ .

Se comenta que $\mathfrak{P}$ es el único primo de $B$ que se encuentra en la parte superior $\mathfrak{Q}$ . ¿Por qué?

Sé que si $A$ es un dominio integral cerrado integralmente en su campo cotizante $K$ y $L$ es una extensión de Galois finita de $K$ entonces el grupo de Galois actúa transitivamente sobre el conjunto de ideales primos en el cierre integral de $A$ en $L$ que se encuentran por encima de algún ideal máximo $\mathfrak{p}$ de $A$ . ¿Implica este hecho de alguna manera inmediata que $\mathfrak{P}$ es el único primo de $B$ que se encuentra en la parte superior $\mathfrak{Q}$ ? Tal vez esté claro, pero estoy luchando, por desgracia. Gracias.

Answer 1

El grupo de Galois de $L$ en $L^{\mathrm{dec}}$ es precisamente $G_{\mathfrak{P}}$ por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois. También sabemos que la acción del grupo de Galois es transitiva sobre los primos que están por encima de $\mathfrak{Q}$ . Pero por cada $\tau$ en el grupo de Galois de $L/L^{\mathrm{dec}}$ , usted tiene $\tau(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}$ por construcción; así que el único primo que se encuentra por encima de $\mathfrak{Q}$ es $\mathfrak{P}$ ya que es la única imagen de $\mathfrak{P}$ bajo la acción del grupo de Galois.