Usando mi derecho a pedir ayuda una vez más. No puedo resolver el siguiente problema desde hace mucho tiempo. No tengo ni idea de cómo hacerlo. Aquí está. Que $f(x)$ esté acotado en cualquier intervalo $(1,b), b>1$ . Entonces $\lim_{x\to+\infty}{f(x) \over x}=\lim_{x\to+\infty}(f(x+1)-f(x))$ . Es del libro ruso "Lekcii po matematicheskomu analizu" de G.I.Arkhipov, V.A.Sadovnichy y V.N.Chubarikov, 2ª ed., Moscú, 2000, página 676. Por favor, tened en cuenta que los tiempos en los que hacía los deberes pasaron hace mucho tiempo. Ahora resuelvo problemas por placer.
Respuestas
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La declaración correcta es la siguiente:
- Si $\lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right)=\ell\in\mathbb{R}$ entonces $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\ell$ .
En efecto, supongamos que $\lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right)=\ell\in\mathbb{R}$ . Sea $\varepsilon>0$ entonces existe $b_\varepsilon>1$ tal que $$\forall\,t\ge b_\varepsilon,\qquad -\varepsilon<f(t+1)-f(t)-\ell<\varepsilon.\tag{1}$$ Definir $$M_\varepsilon=\sup\{ |f(x)|:1\le x\le b_\varepsilon+1\}.\tag{2}$$ Ahora, considere $x\ge b_\varepsilon$ y definir $k(x)=\lfloor x-b_\varepsilon\rfloor$ se deduce que $$k(x)+b_\varepsilon\le x<k(x)+1+b_\varepsilon\tag{3}$$ Aplicando (1) con $t=x-j-1$ para $j=0,1,\ldots,k(x)-1$ y sumando las desigualdades resultantes obtenemos $$(\ell-\varepsilon) k(x)\le f(x)-f(x-k(x))\le(\ell+\varepsilon) k(x)$$ Utilizando (2) obtenemos $$(\ell-\varepsilon) k(x)-M_\varepsilon\le f(x)\le(\ell+\varepsilon) k(x)+M_\varepsilon$$ O $$(\ell-\varepsilon) \frac{k(x)}{x}-\frac{M_\varepsilon}{x}\le \frac{f(x)}{x}\le(\ell+\varepsilon) \frac{k(x)}{x}+\frac{M_\varepsilon}{x}\tag{4}$$ Pero según (3) tenemos $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{k(x)}{x}=1$ por lo que, a partir de (4) concluimos que $$\ell-\varepsilon \le \liminf_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\le \limsup_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} \le\ell+\varepsilon$$ Pero $\varepsilon>0$ es arbitraria. Por lo tanto, $$\ell \le \liminf_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\le \limsup_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} \le\ell$$ Ese es el límite $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} $ existe y es igual a $\ell$ .
- Tenga en cuenta que el ejemplo $f(x)=\sin(\pi x)$ muestra que $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ puede existir mientras $\lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right)$ no lo hace.
Tryss
Puntos
8799
Si ambos existe :
$f$ limitados implican que $\lim_{x\to + \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$
Ahora, supongamos que $f(x)-f(x+1)$ no converge a $0$
Tenemos que
$$f(n) - f(0) = \sum_{k=0}^{n-1} f(k+1)-f(k)$$
Como $ \lim_{k\to \infty} f(k+1)-f(k) $ existe (sin pérdida de generalidad suponga que es mayor que $0$ ) y no es igual a $0$ existe $\eta >0$ y $M>0$ tal que $\forall n > M, f(n+1)-f(n) \geq \eta$
Por lo tanto,
$$f(n) = \underbrace{f(0) + \sum_{k=0}^M f(k+1)-f(k)}_{Constant} + \sum_{k=M+1}^{n-1} f(k+1)-f(k)$$
$$f(n) \geq C_{\eta} + \sum_{k=M+1}^{n-1} \eta = C_\eta + (n-M+1) \eta$$
El lado izquierdo está acotado y el derecho diverge a $+\infty$ : contradicción
Ahora, es fácil construir funciones $f$ donde $\lim_{x\to + \infty} \frac{f(x)}{x} $ existe y no $\lim_{x\to + \infty} f(x+1)-f(x) $
