Demuestre que Si $C$ es una cadena en $X$ entonces $f(C)$ es también una cadena en $Y$ .

Question

Sean X e Y un poset y $f:X\to Y$ es una función creciente. Si $C$ es una cadena en $X$ , demuestran que $f(C)$ es también una cadena en $Y$ .

Dado que C es una cadena para cada $x,y \in C: (x,y)\to \left(x\leq y\bigvee y\leq x\right)$ .

Así que $f(x)\leq f(y)$ o $f(y)\leq f(x)$ porque f es creciente. Como $x,y\in C $ y $f(x),f(y)\in f(C)\Rightarrow \left(f(x)\leq f(y)\bigvee f(y)\leq f(x)\right)$ ¿es esto suficiente?

Answer 1

Supongamos que $y_1, y_2$ están en $f[C]$ . Entonces hay $x_1,x_2 \in C$ tal que $f(x_1) = y_1$ y $f(x_2) = y_2$ . Como $C$ es una cadena, tenemos $x_1 \le x_2$ o $x_2 \le x_1$ y como $f$ es creciente, también tenemos $y_1 = f(x_1) \le f(x_2) = y_2$ o $y_2 = f(x_2) \le f(x_1) = y_1$ según sea necesario.