Cálculo de $\mathbb{E}(|B_t|^{-2})$ para el movimiento browniano de 3 dimensiones. movimiento browniano

Question

Ok, así que me dan un movimiento browniano estándar de 3 dimensiones $B(t) = (B_{1}(t),B_{2}(t),B_{3}(t))$ , función $f(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ y el proceso $A(t) = f(B(t))$ y $t \in [1;\infty)$

Necesito calcular $E[A^2(t)]$ .

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Lo que hice:

He utilizado la fórmula de Ito para la función $f(t,x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ y terminó con

$d(f(t,x,y,z)) = -x(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}dx - y(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}dy - z(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}dz$

En este punto estoy perdido.

$f(0)$ es infinito, así que no estoy seguro de lo que está pasando. Puedo incluso ir más allá y afirmar, que $A(t)$ = suma de 3 integrales?

Ahora bien, si me olvido de este tema de arriba y voy directamente a por la plaza, me sale:

$E[A^2(t)] = \int_{1}^{t}E[\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^2}]ds$ utilizando la isometría ito y el teorema de fubini-tonelli.

Y no sé qué hacer. Aparentemente la respuesta es $\frac{1}{t}$ pero por alguna razón no puedo comprender qué se supone que debo hacer allí. ¿Puedo ir a la integral triple y cambiar a coordenadas esféricas? Además, esta restricción en $t$ ¿Estoy en lo cierto al suponer que los límites de integración serán, por tanto, a partir de 1 y no de 0?

Agradecería cualquier consejo.

Answer 1

No veo que la fórmula de Itô sirva de mucho para este problema (en particular, porque existe la sinularidad en el cero, lo que significa que habría que trabajar con tiempos locales). Es mucho más fácil utilizar el hecho de que conocemos la densidad de transición de $(B_t)$ .

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Por la propia definición de $A(t)$ necesitamos calcular

$$\mathbb{E}(A^2(t)) = \mathbb{E} \left( \frac{1}{|B_t|^2} \right).$$

Introduciendo la densidad de transición de $B_t$ encontramos que

$$\mathbb{E} \left( \frac{1}{|B_t|^2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{1}{x^2+y^2+z^2} \exp \left( - \frac{x^2+y^2+z^2}{2t} \right) \, d(x,y,z).$$

Introduciendo las coordenadas polares obtenemos

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left( \frac{1}{|B_t|^2} \right) &= \frac{4\pi}{\sqrt{2\pi t}^3} \int_{(0,\infty)} \frac{1}{r^2} \exp \left(- \frac{r^2}{2t} \right) \, (r^2 \, dr) \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi t^3}} \int_{(0,\infty)} \exp \left(- \frac{r^2}{2t} \right) \, dr. \end{align*}$$

Por lo tanto,

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left( \frac{1}{|B_t|^2} \right) &=\frac{1}{t} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_{\mathbb{R}} \exp \left(- \frac{r^2}{2t} \right) \, dr}_{=1} = \frac{1}{t}. \end{align*}$$

Answer 2

Este es un enfoque diferente.

1) $$E[e^{-s|B_t|^2}] = E[e^{-ts N(0,1)^2}]^3.$$

2) \begin{align*} E[e^{-u N(0,1)^2}] & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-x^2 ( u + 1/2) }dx\\ & = (2u+1)^{-1/2}. \end{align*}

3) $$x^{-1} = \int_0^\infty e^{-s x} ds.$$

Ponerlo todo junto:

\begin{align*} E [|B_t|^{-2} ] & = E [\int_0^\infty [e^{-s|B_t|^2} ]ds \\ & = \int_0^\infty E [ e^{-s|B_t|^2}] ds \\ & = \int_0^\infty (2st+1)^{-3/2} ds \\ & = -\frac{2}{(2t)}(2st+1)^{-1/2} \left.\right|_{s=0}^{s=\infty}\\ & = \frac{1}{t} \end{align*}