Estoy leyendo la prueba del Lemma Doob-Dynkin en la wikipedia aquí:
https://en.wikipedia.org/wiki/Doob%E2%80%93Dynkin_lemma
Primero enunciaré el lema (con notación de probabilidad) y me limitaré al caso en que una de las v.r. sea positiva. Luego daré la prueba que dan. Luego haré una modificación de la prueba. La cuestión es si la modificación es correcta.
Lema:
Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria real en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A},P)$ y que $Y$ sea una variable aleatoria no negativa en el mismo espacio de probabilidad. Supongamos que $Y$ es $\sigma(X)$ medible, y que $X(\Omega)\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Entonces existe una función medible por el borde tal que $Y=f(X)$ .
Prueba
Supongamos primero que $Y(\omega) = \sum\limits_{i=1}^n c_i1_{A_i}(\omega)$ donde el $A_is$ son disjuntos. Entonces, para cada $i$ , $A_i$ debe ser $\sigma(X)$ medible, por lo que debe existir un conjunto de Borel $A_i'$ tal que $A_i=X^{-1}(A_i)$ . Entonces tenemos
$$Y(\omega)=\sum\limits_{i=1}^n c_i1_{A_i}(\omega)=\sum\limits_{i=1}^n c_i1_{X^{-1}(A_i')}(\omega)=\sum\limits_{i=1}^n c_i1_{A_i'}(X(\omega))$$
por lo que podemos definir $f=\sum\limits_{i=1}^N c_i 1_{A_i}(x)$ , se trata de una función medible por Borel.
Ahora dejemos que $Y\ge 0 $ no sea una función simple. Entonces sabemos que existe una secuencia de variables aleatorias simples $Y_n \uparrow Y$ para cada $Y_n$ tenemos una función borel simple correspondiente $f_n$ . Y debemos tener eso:
$$Y(\omega)=\lim_{n \rightarrow \infty}Y_n(\omega) = \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(X(\omega)).$$ Esto significa que si $x \in X(\Omega)$ entonces $f_n(x)$ converge hacia arriba a una función.
Ahora definimos $$f(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)1_{X(\Omega)}(x).$$
$f$ es nuestra función requerida. Aquí vemos por qué necesitamos $X(\Omega)$ para ser medido por Borel.
Pero por lo que he leído en otros libros, no deberíamos exigir que $X(\Omega)$ es medible por el borrador. Así que me pregunto si puedo modificar la prueba donde no necesito esa suposición.
Prueba modificada
Ahora no suponemos que $X(\Omega)\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$ En su lugar, definimos
$$f(x) = \sup\limits_{n}\{f_n(x)\}.$$ Dado que cada $f_n$ es medible por Borel $f$ será medible por Borel, sin embargo, puede ser infinito en algunos puntos. Pero será medible por el Borel en el sentido extendido. Así que podemos definir
$$f^*(x)=f(x)\cdot 1_{\{f(x)<\infty\}}(x),$$ esta será una función finita medible por Borel y tenemos que $f(X)=Y.$
¿Se mantiene esta prueba modificada, o es un error?
