Resolver la congruencia no lineal $x^3+2x^2+5x+4\equiv 0\pmod {60}$ .

Question

Resolver la congruencia no lineal $x^3+2x^2+5x+4\equiv 0\pmod {60}$ .

Para esta pregunta, creo que podría necesitar utilizar el Teorema del resto chino para simplificar el problema a varios módulos más pequeños (por ejemplo, posiblemente $\pmod 4,\pmod 5,\pmod 3$ y simplificar la $x^3+2x^2+5x$ términos).

Answer 1

Módulo $4$ tenemos $x^3+2x^2+x=x(x+1)^2\equiv0$ ,

lo que significa $x\equiv0$ o $x+1\equiv2$ o $4$ .

Módulo $5$ tenemos $x^3+2x^2+5x+4=(x+1)(x^2+x+4)\equiv(x+1)(x-2)^2\equiv0$ ,

lo que significa $x\equiv 4$ o $2$ .

Módulo $3$ tenemos $x^3+2x^2+5x+4=(x+1)(x^2+x+4)\equiv(x+1)(x-1)^2\equiv0$ ,

lo que significa $x\equiv 2$ o $1$ .

Puedes seguir con el teorema del resto chino

para encontrar $12$ soluciones modulo $60=4\times5\times3$ ?

Answer 2

Es fácil encontrar las raíces mod $3,4,5$ como en la respuesta de J.W.T. Pero al levantar estos a las raíces $\bmod 60$ es un dolor por la fórmula CRT. Más fácil es tamiz . $\,x\equiv 2,4\pmod{\!5}\,$ por lo que enumeramos estos valores $\!\bmod 60$ en una matriz, donde la primera fila $\equiv 2,\,$ el segundo $\,\equiv 4\pmod{\!5},\,$ como el siguiente.

$\begin{array}{c} 2^4\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! \color{#c00} 7\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! 12_3\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! \color{#c00}{17}\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! 22^4\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! 27_3\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! \color{#c00}{32}\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! \color{#c00}{37}\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! {42_3}^{\!\!4}\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! \color{#c00}{47}\!\!\!\!\! &&\!\!\!\!\! \color{#c00}{52}\!\!\!\!\! && \!\!\!\!\! 57_3 \\ & \color{#c00}4 && 9_3 && 14^4 &&\color{#c00}{19} && 24_3 && \color{#c00}{29} && 34^4 && 39_3 && \color{#c00}{44} && \color{#c00}{49} && {54_3}^{\!\!4} && \color{#c00}{59} \end{array}$

Lo siguiente que sabemos es $\,x\equiv 1,2\pmod{\!3}$ por lo que debemos excluir todos los múltiplos de $3$ que son $\,12+15n\,$ en la primera fila, y $\,9+15n\,$ en el segundo, que marcamos con un subíndice $3$ . Finalmente sabemos $\,x\equiv 0,1,3\pmod{\!4},\,$ por lo que tenemos que excluir todos los $\,x\equiv 2\pmod{\!4},\,$ que son $\,2+20n\,$ en la primera fila, y $\,14+20n\,$ en el segundo, que marcamos con un superíndice $4$ . El $\color{#c00}{12}$ restante $\color{#c00}{\rm nonscripted}$ las entradas son todas las soluciones $\!\bmod 60$ .