Si hay un campo $F$ que es un campo de la reducción de los números reales, que es $F(a)=\mathbb{R}$ algunos $a$, también vamos a denotar esta $F=\mathbb{R}(\setminus a)$, luego se le da $x \in \mathbb{R}$ ¿existe un método general para determinar si $x$ $F$ o $x$$\mathbb{R}\setminus F$ ?
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Bryan Roth
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De hecho, no hay trivial campo "reducciones"$\mathbb{R}$: si $\mathbb{R} = F(a)$,$a \in F$$F = \mathbb{R}$.
Caso 1: $a$ es algebraico sobre $F$, por lo tanto $F(a) = F[a]$, lo $d = [F[a]:F]$ es finito. A continuación,$[\mathbb{C}:F] = 2d$, es decir, "la" clausura algebraica de $F$ ha finito de grado por encima del $F$.
Teorema: Vamos a $K$ ser un campo y $\overline{K}$ cualquier algebraica de cierre. Si $[\overline{K}:K] = d$ es finito, entonces $d = 1$ o $d = 2$.
Prueba: Este es esencialmente el Gran Artin-Schreier Teorema (ver, por ejemplo, en la Sección 12.5 de http://math.uga.edu/~pete/FieldTheory.pdf para una prueba de ello.) Es decir, Artin-Schreier dice que si $\overline{K}/K$ es un finita de Galois de la extensión, entonces el grado es $1$ o $2$. Ciertamente, $\overline{K}/K$ es normal. Y para los propósitos de esta cuestión que estamos en característica cero, así que todo es separable. Por lo tanto, $\overline{K}/K$ es de Galois. (Pero aquí es una prueba de la divisibilidad en el caso general: si $\overline{K}/K$ no es separable, entonces no es un trivial subextension $L$ tal que $[\overline{K}:L] = p^n$$\overline{K} = L(a^{p^{-n}})$. Pero esto es imposible: el polinomio $t^p - a$ es irreducible sobre $L$ fib todos los polinomios $t^{p^n} - a$ son irreducibles sobre $L$. Por lo $\overline{K}/K$ es separable.)
Por lo tanto debemos tener $d = 1$, es decir, $F = \mathbb{R}$.
Caso 2: $a$ es trascendental $F$. Pero entonces el campo $F(a)$ es isomorfo a la función racional campo $F(t)$. Este campo no puede ser isomorfo a $\mathbb{R}$, porque no admite extensiones finitas de grado $n$ todos los $n \in \mathbb{Z}^+$, por ejemplo, $F(t^{\frac{1}{n}})$.
