Una ecuación exacta para calcular los extremos de $\dfrac{\sin(x)}{x}$

Question

Hace un par de días calculé que el $m^{th}$ extremo de $\dfrac{\sin(x)}{x}$ denotado por $y_m$ viene dada por la siguiente ecuación:

$$ \sqrt{1-y_m^2} +y_m \sin^{-1}(y_m)-y_m(-1)^m \left(2m+1\right)\dfrac{\pi}{2}=0$$

que se puede simplificar a lo siguiente :

$$ \sin^{-1}(y_m)+\cot(\sin^{-1}(y_m))-(-1)^m \left(2m+1\right)\dfrac{\pi}{2}=0$$

No encuentro ninguna referencia a esta expresión que he calculado en ningún lugar de la red en ninguna obra publicada o en general. ¿Podría alguien decirme si es una ecuación ya conocida?

Referencias :

1. Ubicaciones y amplitudes de los extremos de la función sinx/x

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Editar : Ya que esto está confundiendo a algunas personas. Aclaro que no quiero resolver para $x_k$ (la ubicación de los extremos) sino el extremo mismo, hay muchos trabajos que ya lo han hecho de diferentes maneras. Yo, en cambio, buscaba una función que te diera directamente los extremos. La función que mencioné arriba te da directamente el extremo $y(x_m)$ (y no su ubicación $x_m$ ) cuando se resuelve numéricamente su raíz. Quería saber si esta ecuación que he encontrado ya era conocida/utilizada anteriormente. No puedo encontrar ningún trabajo publicado donde hayan dado una ecuación que te dé directamente los valores del extremo para $\dfrac{\sin(x)}{x}$ .

Answer 1

Aquí está la derivación de la ecuación OP.

El extremo $x_m$ de la función $$ f(x)=\frac{\sin x}{x}\tag1 $$ están dadas por el punto fijo de $\tan x$ : $$ x_m=\tan x_m\tag2 $$ y se encuentran en el intervalo $(m\pi,(m+\frac12)\pi)$ .

Sustituyendo $x$ en el denominador de (1) con $\tan x_m$ se obtiene: $$ y_m=\frac{\sin x_m}{\tan x_m}=\cos x_m $$ o $$ x_m=s_m\arccos y_m+k_m\pi.\tag3 $$ Un análisis más detallado revela: $$ s_m=(-1)^m;\quad k_m=\begin{cases}m,&m\text{ even}\\ m+1,&m\text{ odd}\\ \end{cases}.$$

La sustitución de (3) en (1) da lugar a la ecuación $$ y_m=\frac{\sin((-1)^m\arccos y_m+k_m\pi)}{(-1)^m\arccos y_m+k_m\pi}= \frac{(-1)^m\sqrt{1-y_m^2}}{(-1)^m\arccos y_m+k_m\pi} $$ o $$ \frac{\sqrt{1-y_m^2}}{y_m}-\arccos y_m=(-1)^mk_m\pi,\tag4 $$ que debería ser equivalente a la ecuación de la OP.

La ecuación (4) se puede formular de forma más sencilla: $$ \frac{\sqrt{1-y_m^2}}{|y_m|}-\arccos |y_m|=m\pi.\tag5 $$ Sin embargo, sólo proporciona los valores absolutos de $y_m$ que debe multiplicarse adicionalmente por $(-1)^m$ .

Answer 2

Busquemos el primer positivo. Donde $(x_{1},y_{1}) \approx (4.5,-0.2)$

$$f(x) = \frac{sin(x)}{x}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{x \cdot cos(x) - sin(x)}{x^2}$$

$$\frac{x_{1} \cdot cos(x_{1}) - sin(x_{1})}{x_{1}^{2}} = 0$$

$$x_{1} \cdot cos(x_{1}) - sin(x_{1}) = 0$$

$$x_{1} - tan(x_{1}) = 0$$

$$x_{1} = tan(x_{1})$$

No se puede resolver exactamente .