conjuntos y funciones ayuda a la prueba

Question

Empecé a entusiasmarme con el análisis matemático. Así que me compré un libro de análisis matemático y empecé a estudiar. Pero debido a la razón de que, el libro no tiene soluciones no tengo una idea de dónde empezar y cómo demostrar lo siguiente:

Dejemos que $A_t$ , $t \in T$ sea una familia de conjuntos, y sea $X$ sea un conjunto. Demuestra las identidades:

$$X \setminus \bigcup A_t = \bigcap (X\setminus A_t)$$

$$X \setminus \bigcap A_t = \bigcup(X\setminus A_t) $$

¿Podría ayudarme, por favor? También necesito una recomendación de libro sobre análisis matemático que vaya como un teorema y su demostración, un teorema y su demostración.. ¿Tienen alguna sugerencia?

Saludos

Answer 1

Por ejemplo:

$$x\in X\setminus \bigcup A_t\Longleftrightarrow \,\,\,\text{for no}\,\,t\,\,,\,\,x\in A_t\Longleftrightarrow \,\,\forall\,t\,\,,\,x\in X\setminus A_t\Longleftrightarrow x\in\bigcap(X\setminus A_t)$$

La otra igualdad es muy similar.

Answer 2

Veamos el caso $|T| = 1$ es decir, que la familia de conjuntos tiene un solo elemento.

El $X\setminus A$ es trivial $X \setminus A$ .

¿Qué pasa cuando $|T| = 2$ ?

Entonces $X \setminus (A_1 \cup A_2)$ es el conjunto de $x \in X$ tal que $x \not \in A_1, A_2$ .

$X \setminus A_1$ es el conjunto de $x \in X$ tal que $x\not \in A_1$ y $X \setminus A_2$ es el conjunto de $x \in X$ tal que $x \not \in A_2$ . Esto significa que $\bigcap (X \setminus A_t)$ es el conjunto de $x \in X$ tal que $x \not \in A_1$ y tal que $x \not \in A_2$ . De forma equivalente, se trata del conjunto de $x \in X$ tal que $x \not \in A_1, A_2$ . ¡Dios mío, esto es lo mismo que el conjunto anterior!

Ahora podrías mirar atrás y decir, ¿dónde hemos utilizado nuestra capacidad de enumerar los conjuntos?

¿Ves cómo terminar desde aquí?