El cubo de cualquier número entero dividido por 8 deja un resto?

Question

Este es mi enfoque,

Dejemos que $a \in \mathbb{Z}$ del algoritmo de división, por lo tanto $a$ es de la forma de $ 8k + r, \, 0r<8$

A continuación, obtuve $8$ casos de esto, y los cubrimos todos, factorizados $8$ fuera.

He obtenido, $0,1,3,5,7$ como los únicos restos posibles cuando $a^3$ se divide por $8$ .

No estoy seguro de si mi respuesta es correcta o no.

¿Puede alguien mostrarme cómo se resuelven realmente este tipo de preguntas? No creo que aplicar el Algoritmo de la División cada vez sea conveniente, especialmente cuando el divisor es un número grande. Casi perdí toda mi paciencia tratando de resolver esto.

De todas formas, ¿cómo se resuelve esto? Además, ¿mi método y mi respuesta son correctos?

Answer 1

Si $x\equiv 0\pmod 2$ entonces $x^3\equiv 0\pmod 8$ . Por lo demás, $x^2\equiv 1\pmod 8$ Por lo tanto $x^3\equiv x\pmod 8$ .

Answer 2

Aquí tienes un boceto de cómo lo haría yo:

Un número entero $n$ es congruente con $0,1,\dots,6$ o $7$ modulo $8$ .

• Si $n$ es uniforme, podemos factorizar $2$ en $n$ , por lo que podemos factorizar $2^3=8$ en $n^3$ el resto es $0$ .
• Si $n\equiv 1, 3,5,7\mod 8$ tiene orden $2$ es decir $n^2\equiv 1\mod 8$ Así que $n^3=n\cdot n^2\equiv n\mod 8$ y los restos son, respectivamente $\;1,3,5,7$ .

Answer 3

La idea de las 04:03 AM, que se me ocurrió es la siguiente:

división de $a^3$ por $8$ se puede escribir de esta manera:

$a^3 = 8k+r, 0 \leq r \leq 7 <=> a^3 - 8k = r <=> (a-2k^{1/3})*(a^2+2ak^{1/3}+4k^{2/3}) = r$

Si a es par, entonces el resto es 0, esto es trivial, ya que se puede factorizar 2 a partir de la a y entonces se acaba factorizando 8, ya que a es un cubo

Si a es impar, entonces el lado izquierdo de la expresión anterior es impar, lo que significa que r es impar.

Sumando todos los resultados obtenemos 0, 1, 3, 5 y 7.