¿Los gráficos regulares son siempre regulares en sentido topológico en una dimensión determinada?

Question

Considere una gran nube de puntos (sitios) en dimensiones arbitrarias. Ahora introduzco enlaces entre los sitios, de forma que cualquier sitio está conectado exactamente a otros dos sitios (y no hay autoconexiones ni dobles conexiones). La estructura resultante (gráfico finito, red o como quiera llamarse) es ahora topológicamente equivalente a una simple cadena 1D (o a múltiples cadenas desconectadas).

Me pregunto si esto se puede generalizar también a dimensiones superiores. Por ejemplo, si enlazo cada sitio de la nube de puntos con exactamente 3 (en lugar de 2) otros sitios y, por un momento, ignoro algunas sutilezas como el lema Handshaking, ¿también lo hará siempre ¿resultan en una estructura topológicamente regular (como, por ejemplo, un entramado bidimensional en forma de panal, que tiene exactamente grado 3)?

Me interesa especialmente el caso 3D con cuatro conexiones.

Answer 1

No, definitivamente no.

Ejemplo: tome su celosía bidimensional en forma de panal, y elija $2k$ bordes (casi) arbitrarios. A continuación, se emparejan y se cruzan, es decir, para dos aristas emparejadas $(v_1, u_1)$ y $(v_2, u_2)$ sustituirlos por el par $(v_1, u_2)$ y $(v_2, u_1)$ .

Dependiendo de los bordes que haya elegido, la estructura que obtendrá no será regular. No es fácil para mí describir cómo elegir exactamente estos bordes, pero realmente no importa - sólo importa que se puede hacer y espero que lo veas (para cualquier panal suficientemente grande elegir bordes uniformemente al azar que están separados por una distancia de al menos 3 parece ser suficiente).

Espero que esto ayude $\ddot\smile$