En la cuantización canónica, las partículas surgen como excitaciones cuantizadas en el vacío $|0\rangle$ . Por ejemplo, un estado de una partícula con cuatro momentos $p=(E,\textbf{p})$ viene dada por $$|p\rangle\sim a^\dagger_{p}|0\rangle.$$ ¿Es posible llegar a la imagen de la partícula en la formulación de la trayectoria integral de la teoría cuántica de campos (QFT)? ¿Qué es la noción de partícula en la forma integral de hacer QFT?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Las integrales de trayectoria calculan las amplitudes de transición entre estados cuánticos.
Descargo de responsabilidad.
No quiero entrar aquí en cuestiones de espacios de Hilbert amañados y corrección matemática de las definiciones. Esta respuesta da la regla general para la formulación de la integral de trayectoria.
Notación.
En esta respuesta los paréntesis redondos denotan argumentos de funciones ordinarias (como $\Psi(\vec{x})$ ), mientras que los corchetes denotan argumentos funcionales (como $S[\phi(x)]$ ), que son a su vez funciones (elementos de espacios de dimensión infinita).
Como simple modelo de juguete, consideremos la mecánica cuántica.
El estado de las partículas puede describirse mediante una función de onda $\Psi(\vec{x})$ . Además, las amplitudes de transición se caracterizan por las funciones de onda iniciales y finales:
$$ \Psi_I(\vec{x}), \Psi_F(\vec{x}) $$
a veces $0$ y $\tau$ respectivamente. La amplitud de la transición viene dada por
$$ \left< \Psi_F \right| \hat{U} \left| \Psi_I \right> = \int d^3 x_I \Psi_I (\vec{x}_I) \int d^3 x_F \Psi_F^{*}(\vec{x}_F) \cdot U(\vec{x}_I, \vec{x}_F), $$
donde $U(\vec{x}_I, \vec{x}_F)$ son los elementos de la matriz del operador de evolución. Vienen dados por las integrales de trayectoria:
$$ U(\vec{x}_I, \vec{x}_F) = \intop_{\vec{x}(0)=\vec{x}_I}^{\vec{x}(\tau)=\vec{x}_F} {\cal D}x(t) \, e^{i S[\vec{x}(t)]}. $$
Las condiciones de contorno son esenciales, porque determinan el elemento de la matriz que se va a evaluar.
Generalización a la QFT.
En la QFT, los estados viven en los hiperplanos infinito-pasado e infinito-futuro. Podemos asociar vagamente funcionales de la forma
$$ \Psi_I[\phi(\vec{x})], \Psi_F[\phi(\vec{x})] $$
a ellos. Tenga en cuenta que $\Psi$ depende de los valores del campo en los hiperplanos 3d (inicial y final).
La amplitud de transición viene dada por la integral de trayectoria
$$ \left< \Psi_F \right| \hat{U} \left| \Psi_I \right> = \int {\cal D}\phi_I \Psi_I[\phi_I] \int {\cal D}\phi_F \Psi_F^{*}[\phi_F] \cdot U[\phi_I(\vec{x}), \phi_F(\vec{x})], $$ $$ U[\phi_I(\vec{x}), \phi_F(\vec{x})] = \intop_{\phi(t_I, \vec{x}) = \phi_I(\vec{x})}^{\phi(t_F, \vec{x}) = \phi_F(\vec{x})} {\cal D}\phi e^{i S[\phi]}, $$
donde la integral $\int {\cal D}\phi$ es sobre configuraciones de campo entre dos fronteras. Depende de las configuraciones de campo límite elegidas $\phi_I$ y $\phi_F$ y, por lo tanto, no se puede descontar.
Regla general.
Los estados y los espacios de Hilbert están asociados a las fronteras. Las integrales de trayectoria son sobre la región del bulto y calculan las amplitudes de transición para el par de estados de frontera dado.
Amplitudes de transición entre estados de partículas.
En QFT, es lógico elegir la base de Fock (y etiquetar los funcionales asociados a ella con asintótica estados de las partículas). Así, las integrales de trayectoria dan amplitudes de transición entre los estados de las partículas.
La base Fock es la misma que en la cuantización canónica. Abarca el espacio de los funcionales rápidamente decrecientes $\Psi[\phi(\vec{x})]$ y en realidad hay expresiones para el $\Psi$ funcional asociado a los elementos del espacio de Fock. Éstas vienen dadas por polinomios hermitianos por exponenciales decrecientes, al igual que para el oscilador armónico simple.
Conclusión
Las integrales de trayectoria son una herramienta para calcular la dinámica cuántica, es decir, la amplitud de transición entre estados cuánticos. No sustituyen el formalismo canónico de los espacios de Hilbert y los operadores autoadjuntos. En cambio, lo complementan proporcionando una forma covariante de derivar las amplitudes de transición. Todavía hay que hacer la cuantización del espacio de Hilbert, y habrá partículas elementales como antes.
