Integrabilidad de la variable aleatoria desplazada

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ por un espacio de probabilidad, $X:\Omega\rightarrow[0,\infty)$ una variable aleatoria (no negativa, finita) y $F:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ una función continua. Supongamos que

$$\mathbb{E}[\;F(X)\;]<\infty$$

Me pregunto si podemos sacar inmediatamente la siguiente conclusión:

$$\mathbb{E}[\;F(X + a)\;]<\infty$$

para todos $a\in[0,\infty)$ (desplazamiento de la variable aleatoria).

El caso interesante es claramente, si $X$ no tiene límites, es decir, para cada $M\in[0,\infty)$ existe un conjunto $A\in\mathcal{F}$ con $\mathbb{P}(A)>0$ y $X(\omega)>M$ para todos $\omega\in A$ ).

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

En general no: dejemos $U$ sea una variable aleatoria tal que $U\geqslant e$ casi seguro, $U$ es integrable pero $U\notin\mathbb L^p$ para cualquier $p\gt 1$ . Entonces, defina $X=\log \log U$ y $F\colon x\mapsto \exp\left(\exp\left(x\right)\right)$ . Entonces $F(X)=U$ y para cualquier positivo $a$ , $F\left(X+a\right)=U^{e^a}$ que no es integrable.