Caracterización de las álgebras demi-semi-primales

Question

Permítanme comenzar introduciendo cierta terminología que puede no ser considerada estándar por algunas personas.

La función discriminante en un álgebra $\mathbf{A}$ es la función $f:A^3 \to A$ definido por $$ f(x,y,z) = \begin{cases} x &, \text{ if } x \neq y\\ z &, \text{ if } x = y. \end{cases} $$ Decimos que $\mathbf{A}$ tiene un término discriminante si la función discriminante puede ser representada por un término de $\mathbf{A}$ .
Por ejemplo, el anillo $\mathbb{Z}_p$ , para $p$ un número primo, tiene el siguiente término discriminante: $$d(x,y,z) = (x-y)^{p-1} \cdot x + (1-(x-y)^{p-1}) \cdot z,$$ desde $x^{p-1} = 1$ si $x \neq 0$ .

Un álgebra finita con un término discriminante se dice que es quasiprimal .

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Un álgebra $\mathbf{A}$ se dice que demi-semi-primal si es cuasiprimal y cada isomorfismo entre subálgebras no triviales de $\mathbf{A}$ puede extenderse a un automorfismo de $\mathbf{A}$ .

Al parecer, estas álgebras se definieron por primera vez en el documento
Álgebras demi-semiprimales y condiciones de tipo Mal'cev
Quackenbush, R.W. Math Z (1971) 122: 166-176.
https://doi.org/10.1007/BF01110090
No tengo acceso a ese documento pero sospecho que la solución al siguiente problema está ahí:

(Ejercicio IV.10.5, en Burris y Sankappanavar, Álgebra Universal)
Demuestre que un álgebra finita $\mathbf{A}$ es demi-semi-primal si cada $n$ -función de tipo "amarillo" (con $n \geq 1$ ) en $\mathbf{A}$ que preserva las subálgebras de $\mathbf{A}$ y subuniversos de $\mathbf{A}^2$ que consiste en automorfismos de $\mathbf{A}$ puede ser representado por un término.

Pude demostrar la implicación hacia adelante (si $\mathbf{A}$ es demi-semi-primal, entonces cualquier función bajo las condiciones indicadas es representable).

Para la implicación inversa, pude demostrar que si esas funciones son representables entonces $\mathbf{A}$ es cuasiprimal, pero no veo cómo abordar la prueba de que los isomorfismos entre subálgebras no triviales son extensibles a los automorfismos.

¿Alguna pista?
También podría reproducir aquí las pruebas que hice (aunque esto ya es un post largo). Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $A$ tiene subalgebras no triviales subalgebras $S$ y $T$ para el que existe un isomorfismo $\iota:S\to T$ que no es la restricción de un automorfismo de $A$ . A partir de esto, argumentaré que hay una operación en $A$ que preserva las subálgebras y los automorfismos de $A$ , pero que no es representable por un término.

Ordenar los distintos elementos de $S$ en una tupla $\sigma:=(s_1,\ldots,s_k)$ , y luego ordenar los elementos de $T$ como $$ \tau:=(t_1,\ldots,t_k) = (\iota(s_1),\ldots,\iota(s_k)). $$ La no trivialidad de $S$ y $T$ significa que estas tuplas tienen una longitud de al menos $2$ .

Dejemos que $G$ sea el grupo de automorfismo de $A$ y que $G$ actúan en diagonal sobre $A^k$ . Escribe $[\rho]$ para denotar el $G$ -órbita de $\rho\in A^k$ . El hecho de que no exista ningún automorfismo de $A$ que restringe a $\iota$ significa exactamente eso $[\sigma]\neq [\tau]$ .

Ahora define una función $F:A^k\to A$ como sigue: $F(x_1,\ldots,x_k) = x_1$ si $(x_1,\ldots,x_k)\notin [\tau]$ y $F(x_1,\ldots,x_k) = x_2$ si $(x_1,\ldots,x_k)\in [\tau]$ .

El hecho de que $F$ se define como la primera proyección sobre una unión de $G$ -orbits de $A^k$ y se define como la segunda proyección sobre el resto $G$ -orbits implica que $F$ es conservador y $G$ -equivariante, por lo tanto $F$ preserva todas las subálgebras y automorfismos de $A$ . (De hecho, $F$ conserva todo $\underline{\rm subsets}$ y automorfismos de $A$ .)

Pero $F$ no puede ser representado por un término, porque todos los términos son respetados por $\iota$ y $F$ no lo es: $$ \iota(F(s_1,\ldots,s_k))=\iota(s_1)=t_1\neq t_2=F(t_1,\ldots,t_k)=F(\iota(s_1),\ldots,\iota(s_k)). $$