En mi estudio de la asintótica aprendí un orden general de crecimiento asintótico de funciones
$$1 < \log(\log x) < \log(x) < x^a < x^c < c^x < x! < x^x \quad\text{where } c > 1 > a > 0$$
Esperaba que
$$\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x!}}{x} = 0$$
y por lo tanto $\log{x!} = \mathcal{O}(x)$ (mi razonamiento fue que $x$ domina una función logarítmica).
Sin embargo, según Wolfram Alpha
$$\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x!}}{x} = \infty$$
¿Por qué es así?
Primer método: Aproximación de Stirling:
Tal vez debamos utilizar el Aproximación de Stirling . Para $x$ grande,
$$x! \sim \frac{\sqrt{2 \pi}}{e^x} x^{x+1/2}$$
Entonces
$$L := \lim_{x \to \infty} \frac 1 x \log(x!) = \lim_{x \to \infty} \frac 1 x \log \left( \frac{\sqrt{2 \pi}}{e^x} x^{x+1/2} \right)$$
Con algunas propiedades del logaritmo,
$$\log \left( \frac{\sqrt{2 \pi}}{e^x} x^{x+1/2} \right) = \frac 1 2 \log(2\pi)-x+ \left( x + \frac 1 2 \right) \log(x)$$
y así
$$L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\log(2\pi)/2}{x} - 1 + \left( 1 + \frac{1}{2x} \right) \log(x) \right)$$
Claramente,
$$\begin{align*} \frac{\log(2\pi)/2}{x} &\xrightarrow{x \to \infty} 0 \\ -1 &\xrightarrow{x \to \infty} -1 \\ \log(x) &\xrightarrow{x \to \infty} \infty \\ \frac{\log(x)}{2x} &\xrightarrow{x \to \infty} 0 \end{align*}$$
En consecuencia, es evidente que $L = \infty$ .
Método alternativo: Serie Log-Gamma:
La función log-gamma (donde $\Gamma(x)$ es una continuación del factorial, el función gamma ) $\ln(\Gamma(x))$ tiene la representación en serie
$$\ln \Gamma ( z ) = - \gamma z - \ln z + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { z } { k } - \ln \left( 1 + \frac { z } { k } \right) \right]$$
( $\gamma$ es el Constante de Euler-Mascheroni .) Claramente entonces
$$\frac 1 x \ln \Gamma(x) = - \gamma - \frac{\ln x}{x} + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { k } - \frac 1 x \ln \left( 1 + \frac { x } { k } \right) \right]$$
No es difícil ver que, para $k \ge 1$ tenemos
$$0 < \frac 1 x \ln \left( 1 + \frac { x } { k } \right) < 1$$
Entonces tenemos que
$$\lim_{x \to \infty} \frac 1 x \ln \Gamma(x) = - \gamma +\lim_{x \to \infty} \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { k } - \frac 1 x \ln \left( 1 + \frac { x } { k } \right) \right] \ge \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } $$
y por tanto el límite es infinito ya que la serie armónica diverge.
Un poco de álgebra trivial debería manejar el hecho de que $\Gamma(x) = (x-1)!$ para los enteros $x$ para encontrar el límite que desea con mayor precisión, pero lo dejaré en sus manos.
Método alternativo: La regla de L'Hopital y la función Digamma:
No debería ser difícil convencerle de que $\ln(x!)/x$ tiene un $\infty/\infty$ forma, por lo que se aplica L'Hopital. Apelando a la función log-gamma de nuevo entonces,
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln \Gamma(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{d}{dx} \ln \Gamma(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$$
En efecto, el función digamma se define por
$$\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln \Gamma(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$$
A partir de aquí se aplican numerosas identidades, cada una de las cuales da una forma de ver un límite infinito:
sólo con hojear un poco la página.
(Mi razonamiento fue que $x$ domina una función logarítmica).
En general, sí, $x$ dominarían los logaritmos de polinomios . Sin embargo, $x!$ no es un polinomio en el sentido habitual: esto se debe esencialmente a que, como $x$ es cada vez mayor, estás añadiendo más y más términos a ese polinomio, en cierto sentido. Así que (de nuevo, afirmando muy vagamente) al tomar un límite infinito, esencialmente conviertes ese polinomio en una serie infinita -- en ese punto, las apuestas de dominación están fuera, y tienes que recurrir a otros métodos.
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