Así que estoy luchando con el siguiente problema:
Dejemos que $F$ sea un (sub)espacio vectorial de secuencias recursivas que satisfacen $x_{i+2} = bx_{i+1} + ax_{i}$ en el campo $\mathbb{K}$ con un endomorfismo del espacio vectorial $L: F \to F, (x_{i})_{i} \to (x_{i+1})_i $ . Demuestre que si $a>0$ y $b \neq 0$ , $\lim_{i \to \infty} \frac{x_{i+1}}{x_{i}}$ existe y es igual a uno de los valores propios del endomorfismo $L$ .
He demostrado que $F$ es efectivamente un subespacio vectorial de $\mathbb{K}^\mathbb{N}$ y que la función $L$ es y un endomorfismo de este subespacio vectorial. He demostrado que el $\dim F = 2$ y que tenemos una base "natural" de dos secuencias $f_0 = (1, 0, ...)$ y $f_1 = (0, 1, ...)$ . El endomorfismo $L$ puede describirse mediante una matriz: \begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} \end{equation*} en esta base natural. Entonces he encontrado dos valores propios, $e_1 = \frac{b + \sqrt{b + 4a}}{2}$ y $e_2 = \frac{b - \sqrt{b + 4a}}{2}$ . Los vectores propios relacionados son entonces \begin{equation*} v_{1,2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2e_{1,2} \end{pmatrix} \end{equation*} También vemos que: \begin{equation*} \begin{pmatrix} x_i \\ x_{i+1} \end{pmatrix} = A^i \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \end{pmatrix} \fin{ecuación*} Desde $A$ es diagonalizable, podemos escribir: \begin{equation*} \begin{pmatrix} x_i \\ x_{i+1} \end{pmatrix} = S D^i S^{-1} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \end{pmatrix} \fin{ecuación*} con \begin{equation*} S = \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2e_1 & 2e_2 \end{pmatrix} , \; D = \begin{pmatrix} e_1 & 0\\ 0 & e_2 \end{pmatrix} S^{-1} = \frac{-1}{4\ctri} {b^2 + 4a} \begin{pmatrix} 2e_2 & 2e_1\\ 2 & 2 \end{pmatrix} \end{equation*} Podemos entonces encontrar la fórmula explícita para $x_i$ obtenemos: \begin{equation} x_i = \frac{-1}{4\sqrt{b^2 + 4a}}((4e_1^i e_2 + 4e_2^i)x_0 + (4e_1^{i+1} + 4e_2^{i})x_1) \end{equation} Y así \begin{equation*} \lim_{i \to \infty} \frac{x_{i+1}}{x_i} = \lim_{i \to \infty} \frac{(4e_1^{i+1} e_2 + 4e_2^{i+1})x_0 + (4e_1^{i+2} + 4e_2^{i+1})x_1)}{(4e_1^i e_2 + 4e_2^i)x_0 + (4e_1^{i+1} + 4e_2^{i})x_1)} \end{equation*}
Y ahí es donde estoy atascado, si pudiera demostrar que este límite existe, podría simplemente utilizar el hecho de que \begin{equation*} \theta_{i+1} = \frac{x_{i+1}}{x_{i}} = \frac{bx_i + ax_{i-1}}{x_i} = b + a \frac{x_{i-1}}{x_i} = b + \frac{a}{\theta_{i-1}} \end{equation*} y luego $\theta = \lim_{i \to \infty}\frac{x_{i+1}}{x_{i}}$ satisface \begin{equation*} \theta = b + \frac{a}{\theta} \end{equation*} y así \begin{equation*} \theta = \frac{b \pm \sqrt{b^2 + 4a}}{2} \end{equation*} que es igual a los valores propios de $L$ . Pero, ¿cómo puedo demostrar que este límite existe en primer lugar? Intenté evaluar la fórmula explícita que obtuve, pero no encontré la manera de hacerlo. ¿Podríais ayudarme, por favor?
