Homología relativa de esqueletos de complejos CW

Question

Estoy tratando de mostrar que, si $(X, A)$ es un complejo CW relativo donde $X^p$ denota el $p$ -esqueleto, entonces $H_n(X^p, X^{p-1})$ es cero cuando $n\neq p$ e igual a $\bigoplus_\alpha \mathbb{Z}$ , donde $\alpha$ es el número de $p$ -células de $X$ cuando $n=p$ .

Para ello, intento demostrar que $H_n(X^p, X^{p-1})\cong H_n(\coprod_\alpha D^p, \coprod_\alpha S^{p-1})$ . Como estoy trabajando sólo con complejos CW de tipo finito, he intentado hacer alguna inducción sobre el número de $p$ -células de $X$ pero no funciona muy bien. ¿Podría ayudarme?

Advertencia: No quiero utilizar el hecho de que $X^p/X^{p-1}\cong \bigvee_\alpha S^p$ y luego usar $H_n(X^p, X^{p-1})\cong \widetilde{H}_n(X^p/X^{p-1})$ .

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Escriba $B_r=\{x\in\mathbb{R}^p:|x|<r\}$ y que $f_\alpha:\overline{B_1}\to X^p$ sea la inclusión del $\alpha$ th $p$ -célula de $X$ . Sea $$Y=X^{p-1}\cup\bigcup_\alpha f_\alpha(\overline{B_1}\setminus B_{1/2})\subseteq X^p.$$ Tenga en cuenta que $Y$ deformación-retracción en $X^{p-1}$ proyectando radialmente a la frontera en cada $p$ -célula. Por lo tanto, tenemos un isomorfismo $$H_*(X^p,X^{p-1})\cong H_*(X^p,Y).$$ Además, $X^{p-1}$ es cerrado y está contenido en el interior de $Y$ así que por la escisión, $$H_*(X^p,Y)\cong H_*(X^p\setminus X^{p-1}, Y\setminus X^{p-1}).$$ Pero la pareja $(X^p\setminus X^{p-1},Y\setminus X^{p-1})$ es homeomorfo a $(\coprod_\alpha B_1,\coprod_\alpha B_1\setminus B_{1/2})$ . Esta deformación se retrae a $(\coprod_\alpha \overline{B_{1/2}}, \coprod_\alpha \partial B_{1/2})\cong(\coprod_\alpha D^p,\coprod_\alpha S^{p-1})$ y se obtiene el resultado deseado.