Si todo polinomio irreducible en $K[x]$ es separable entonces todo cierre algebraico $\bar{K}$ de $K$ es Galois sobre $K$ ?

Question

Dejemos que $K$ sea un campo.

1. Si todo polinomio irreducible en $K[x]$ es separable entonces todo cierre algebraico $\bar{K}$ de $K$ es Galois sobre $K$ ?

2. Si todo cierre algebraico $\bar{K}$ de $K$ es Galois sobre $K$ entonces toda extensión algebraica de $K$ es separable sobre $K$ ?

Esta es la lista de afirmaciones relacionadas que aprendí en clase:

1. Dejemos que $F$ sea un campo de extensión de $K$ con $\mathrm{char}K=p\neq 0$ . Si $u\in F$ es algebraico sobre $K$ entonces $u^{p^n}$ es separable sobre $K$ para algunos $n\geq 0$ .

2. Si $F$ es un campo de extensión de $K$ , $X$ es un subconjunto de $F$ tal que $F=K(X)$ y cada elemento de $X$ es separable sobre $K$ entonces $F$ es una extensión separable de $K.$

3. Si $F$ es un campo de extensión separable de $E$ y $E$ es un campo de extensión separable de $K,$ entonces $F$ es separable sobre $K.$

Definición: Que $F$ sea un campo de extensión de $K$ tal que el campo fijo del grupo de Galois $\mathrm{Aut}_KF$ es $K$ a sí mismo.

Las afirmaciones del número 1 y 2 son las definiciones equivalentes de campo perfecto. He buscado en los libros de álgebra que tengo pero no he encontrado ninguna referencia. Cualquier referencia o idea es muy bienvenida.

Answer 1

Deberías buscar en los libros que hablan de la teoría de Galois infinita. La mayoría de los libros de álgebra abstracta general no tienen una sección al respecto, así que no encontrarás la respuesta a tu pregunta en esos libros.

Para su primera pregunta, cada elemento $\alpha$ de $\overline{K}$ tiene un polinomio mínimo separable sobre $K$ por lo que por la teoría de Galois $\alpha$ se encuentra en una extensión de Galois finita: el campo de división sobre $K$ de su polinomio mínimo sobre $K$ . Así, cada extensión finita de $K$ en $\overline{K}$ está contenida en una extensión de Galois finita de $K$ Así que $\overline{K}/K$ es Galois.

Su definición no tiene sentido. Usted escribe "Que $F$ sea un campo de extensión de $K$ tal que el campo fijo del grupo de Galois ${\rm Aut}(F/K)$ es $K$ en sí mismo". Eso no es una definición de nada.