¿Por qué la "separación de variables" método para DEs trabajo?

Question

Heyho,

Yo estoy usando el de separación de variables método durante bastante tiempo ahora, pero lo que siempre me molestaba un poco, es por eso que es posible hacer estas operaciones. Te voy a dar un ejemplo concreto (fuente Wikipedia):

$$\frac{dy}{dx}=xy^2 + x \Rightarrow \frac{dy}{1+y^2} = x \:dx \Rightarrow \int{\frac{dy}{1+y^2}} = \int{x \:dx} \Rightarrow \cdots$$

y así sucesivamente. Mi problema radica en el paso 2. ¿Por qué acabo de tratar el operador diferencial como una variable?

Answer 1

Y además de todos los "técnicos" de respuestas: Por una ecuación diferencial, una vez que usted tiene una supuesta solución, usted puede comprobar fácilmente. Así que incluso si usted utiliza extraño, no rigurosas, mística métodos, que el último paso se muestra si o no su solución es correcta.

Answer 2

Tal vez la mejor manera de ver lo que está pasando es escribir como un "casi de separación de variables", donde se separan las variables , excepto que usted mantenga la derivada intacto: $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=xy^2 + x \implica \frac{1}{1+y^2}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = x$$ Esto es claramente válido transformación. Y también es válido para integrar ambos lados sobre la misma variable: $$\frac{1}{1+y^2}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = x \implica \int \frac{1}{1+y^2}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\,\mathrm dx = \int x\,\mathrm dx$$ Ahora en la integral de la izquierda, usted puede hacer una sustitución de variables de$x$$y$. Esto le da $$\int \frac{1}{1+y^2}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\,\mathrm dx = \int \frac{1}{1+y^2}\,\mathrm dy$$ y por lo tanto, obtener $$\int \frac{1}{1+y^2}\,\mathrm dy = \int x\,\mathrm dx$$ Pero eso es exactamente lo que se obtiene al hacer la separación de las variables de la forma habitual.

Answer 3

Para dividir el derivado $\frac{dy}{dx}$ $dy$ $dx$ es sólo una conveniente manera formal para resolver la ecuación. Si no quieres ir muy lejos en los diferenciales, etc, se puede justificar esta división por la regla de la cadena. Por ejemplo, la ecuación puede escribirse como $$ y'(x)=xy(x)^2 + x \Rightarrow \frac{1}{1+y(x)^2}\cdot y'(x) =x \Rightarrow \arctan(y(x))' = x \Rightarrow \dots $$ desde $\arctan(y)=\int\frac{dy}{1+y^2}$. Comparar, para ver que la última expresión se ve exactamente como en tu post.

Answer 4

La "receta" usted no está satisfecho con la validación de la siguiente manera:

Después del paso 1 la educación a distancia tiene la forma $$f(y)\>dy=g(x)\>dx\ .$$ Esto es decir que las cantidades $x$$y$, cuando se la considera como funciones de forma "oculta" de la variable $t$, satisfacer $$f\bigl(y(t)\bigr)\>\dot y(t)\ \equiv\ g\bigl(x(t)\bigr)\>\dot x(t)\tag{1}$$ para todos los $t$. La integración de $(1)$ con respecto al $t$ $t=0$ a algunos elegido límite superior $T$ obtenemos $$\int_0^T f\bigl(y(t)\bigr)\>\dot y(t)\>dt=\int_0^T g\bigl(x(t)\bigr)\>\dot x(t)\>dt\ .$$ Suponga que $f$ $g$ han conocido primitivas $F$$G$. A continuación, una simple sustitución en $(2)$ muestra que hemos $$F\bigl(y(T)\bigr)-F\bigl(y(0)\bigr)=G\bigl(x(T)\bigr)-G\bigl(x(0)\bigr)$$ para todos los $T$ en un barrio de $0$. Pero esto es decir que para todos los $T$ los valores de $y:=y(T)$ $x:=x(T)$ están relacionados por $$F(y)-F(y_0)=G(x)-G(x_0)\ .$$

Answer 5

$$\frac{dy}{dx}=x(y^2 + 1) \Rightarrow \frac{dy}{1+y^2} = x \:dx$$

Uno puede escribir $$ f'(x) = x((f(x))^2+1) $$ y, a continuación, $$ \frac{f'(x)}{1+f(x)^2} = x. $$ Por lo tanto $$ \int \frac 1 {1+f(x)^2}\Big(f'(x)\,dx\Big) = \int x\,dx $$ $$ \int \frac 1 {1+u^2}\, du = \int x\,dx. $$

En otras palabras, usted está utilizando la regla de la cadena.

También se puede escribir $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx x(y^2+1) \tag 1 $$ $$ \frac{\Delta y}{1+y^2} \approx x\,\Delta x. \tag 2 $$ El límite de $(1)$ $\Delta x\to0$ es el derivado $dy/dx$ y el límite de $\Delta x\to0$ de la suma de los valores de $(2)$ es la integral.