Si $f''(x) \gt 0$ para $x\in(a,b)$ y $f(a)=f(b)=0$ entonces $0 \gt f(x)$ para todos $x \in (a,b)$ .

Question

Encuentro una palabra en mi libro de ejercicios de cálculo. Dice que:

Si $f''(x) \gt 0$ para $x\in(a,b)$ y $f(a)=f(b)=0$ entonces $0 \gt f(x)$ para todos $x \in (a,b)$ .

Trato de demostrarlo. En primer lugar, ya que $f''(x) \gt 0$ Así que $f'(x)$ es creciente en el intervalo $(a,b)$ . Sin embargo, no sé cómo continuar la prueba. Quiero utilizar la IVT, pero los tres tipos de IVT necesitan que $f(x)$ también continua en $[a,b]$ En esta declaración, no puedo probar $f(x)$ es continua en el punto $a$ o $b$ .

En mi opinión, si queremos demostrar que $0 \gt f(x)$ Intento demostrar que $0 \gt\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \forall x \in (a,b)$ y utilizar el teorema de Lagerange, pero no puedo demostrar que la continuidad en $a$ otr $b$ .

De hecho, creo que tal vez esta afirmación sea falsa. ¿Puede alguien decirme si esta afirmación es correcta y, si lo es, cómo demostrarlo?

ps: Construyo este contraejemplo. (No puedo estar seguro de la corrección).

Answer 1

La condición $f(a)=f(b)=0$ no significa nada sin la continuidad en $a$ y $b$ . Un contraejemplo sería $f(x)=e^{x}$ para $a <x<b$ y $0$ para $x=a$ y $x=b$ .

Asumiendo la continuidad en $a$ y $b$ podemos demostrarlo de la siguiente manera.

$f$ es una función convexa por lo que $f(x)=f(ta+(1-t)b) \leq tf(a)+(1-t)f(b)=0$ donde $t=\frac {b-x} {b-a}$ . Así que $f(x) \leq 0$ . Queda por demostrar la desigualdad estricta. Si $f(x)=0$ para algunos $x \in (a,b)$ entonces la MVT muestra que $f'(s)=0$ y $f'(t)=0$ para algunos puntos $s \in (a,x)$ y $t \in (x,b)$ . Pero entonces $f''(z)=0$ para algunos $z$ entre $s$ y $t$ contradiciendo la hipótesis.

Answer 2

Supongamos que $f(u)\geq 0$ , $u\in (a,b)$ .

Primer caso: $f(u)=0$ . Existe $v_1\in (a,u), v_2\in (u,b)$ con $f'(v_1)=f'(v_2)=0$ implica que existe $w\in (v_1,v_2)$ tal que $f"(w)=0$ .

Caso 2. $f(u)>0$ existe $v_1\in (a,u), v_2\in (u,b)$ con $f(v_1)=f(v_2)>0$ implica que existe $w\in (v_1,v_2)$ con $f'(w)=0$ . Desde $f">0$ implica que para cada $x<w$ , $f'(x)\leq f'(w)=0$ implica que $f$ disminuye en $[a,w]$ deducimos que $f(a)\geq f(v_1)$ desde $v_1<w$ contradicción.