Producto tensorial de un álgebra de von Neumann y $L_\infty $

Question

Dejemos que $R$ sea el hiperfinito $II_1$ -factor. Sabemos que $R$ es isomorfo a $R\otimes R$ . Así que, $L_\infty(0,1) \otimes R$ es una subálgebra de von Neumann de $R$ .

No sé si es seguro para cualquier tipo $II_1$ álgebra de von Neumann $M$ es decir,.., es $L_\infty(0,1) \otimes M$ una subálgebra de von Neumann de $M$ ?

Answer 1

Si $\mathbb F_I$ denota el grupo libre en $I$ generadores con $\lvert I \rvert > 1$ entonces $L^\infty(0, 1) \overline \otimes L \mathbb F_I$ no es isomorfa a una subálgebra de von Neumann de $L \mathbb F_I$ . Para $\lvert I \rvert > \aleph_0$ este es el Corolario 6.4 en [S. Popa: Pares ortogonales de subálgebras en álgebras de von Neumann finitas, J. Op. Th. 9(1983), 253-268]. El caso general $\lvert I \rvert > 1$ es el Teorema 1 en [ N. Ozawa: Solid von Neumann algebras, Acta Math. 192 (2004), 111-117 ].