Prueba para $\epsilon >0$ existe un intervalo finito $[a,b]$ tal que $|\int{f(x)}dx-\int_{a}^b f(x)dx|<\epsilon$

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\bar{\mathbb{R}}$ integrable de Lebesgue. Demostrar que para $\epsilon >0$ existe un intervalo finito $[a,b]$ tal que

$$\left|\int{f(x)}dx-\int_{a}^b f(x)dx\right|<\epsilon.$$

Mi intento: Si $f$ es integrable en $[a,b]$ entonces para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cualquier conjunto medible $D \subset [a,b]$ con medida $\mu(D) < \delta$ tenemos

$$\left|\int_{a}^b f(x)dx\right|<\epsilon/2.$$

Aquí es donde estoy atascado. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Se puede demostrar fácilmente mediante la convergencia dominada que $$ \lim_{n\to\infty} \int_{-n}^n f(x)dx=\int f(x)dx. $$ Por definición, para un $\epsilon>0$ Esto significa que para todos los $N$ lo suficientemente grande, $$ \bigg\vert \int f(x)dx-\int_{-N}^N f(x)dx\bigg\vert<\epsilon. $$

Answer 2

Si $$A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$$ y $$A_1\subset A_2\subset\dots,$$ entonces $$\int_A f\,\text{d}\mu=\lim\limits_{n\to\infty}\int_{A_n} f\,\text{d}\mu.$$ Esta es la propiedad fundamental de la integral de Lebesgue.