Tamaño del grupo más pequeño que no se ajusten a una identidad.

Question

Dado $F = F(x_0,\ldots,x_n)$ el grupo libre en $n+1$ generadores. Definir una función $M: F\rightarrow \mathbb{N}$ tal que $F(w) = l$, si el grupo más pequeño de los cuales $w$ no es una identidad, es de tamaño $l$.

Mi pregunta es cuál es la función $M$ parece. Existen buenos límites?

Aquí están algunas de las observaciones que han llegado de las primeras discusiones que he tenido acerca de esta cuestión.

0)si existe un subconjunto de los generadores que aparecen en $w$, donde la suma de los exponentes es distinto de cero, entonces usted puede utilizar un grupo cíclico donde el orden de la del grupo de no dividir esta suma de exponentes como un ejemplo.

1) un límite superior de $F(w)$ es $|w|!$: usted puede por mano de construir una permutación grupo en el que la identidad no está satisfecho. (el hecho de que $M$ es bien definidos, es equivalente al residuo de la finitud de la libre grupo)

2) la función $M$ es ilimitada: cada finito grupo $G$ en $n+1$ generadores corresponde a un número finito de índice de un subgrupo de $F$ (un grupo $W\subseteq F$ que $G = F/W$; por cada $G$ hay un número finito de estos $W$), y la intersección de un número finito finito índice de subgrupos es todavía de índice finito. Así que toma todos los grupos de tamaño de menos de $k$, cada palabra en la intersección de sus correspondientes finito índice de subgrupos requiere de un grupo de tamaño mayor que $k$ a no ser satisfecho.

Answer 1

Para hacer la pregunta que un poco menos de composición abierta, mientras que (espero) que conserva su espíritu, permítanme interpretar la pregunta como hacer para que la tasa de crecimiento de la función $\mu(k)$ define como el máximo de $M(w)$ más de todos los que no son triviales palabras $w$ de longitud de hasta $k$ en cualquier número de símbolos, donde la longitud es el número de símbolos y sus inversas, multiplicados juntos en $w$. (E. g., $x^5 y^{-3}$ tiene una longitud de 8$$.) George Lowther observó que $M(x^{n!})>n$, entonces $\mu(n!)>$ n. Nadie puede reemplazar a $n!$ por $\operatorname{LCM}(1,2,\ldots,n)$, que es de $e^{(1+o(1))n}$, por lo que este le da $\mu(k) > (1-s(1)) \log k$ $k \to \infty$.

Voy a mejorar esta demostrando que $\mu(k)$ es al menos del orden de $k^{1/4}$.

Deje de $C_2(x,y):=[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$. Si $C_N$ se define, definir $$C_{2N}(x_1,\ldots,x_N,y_1,\ldots,y_N):=[C_N(x_1,\ldots,x_N),C_N(y_1,\ldots,y_N)].$$ Por inducción, si $N$ es una potencia de 2$$, entonces $C_N$ es una palabra de longitud $N^2$ que evalúa a $1$ cuando alguno de sus argumentos es de $1$.

Dado $m \ge 1$, vamos a de $N$ el mínimo de potencia de 2 $de$ que $N \ge 2 \binom{m}{2}$. Construcción $w$ por aplicar $C_N$ a una secuencia de argumentos, incluyendo $x_i x_j^{-1}$ para $1 \le i < j \le m$ y extra distintos interdeterminates inserta de manera que no hay dos de los $x_i x_j^{-1}$ son adyacentes argumentos de $C_N$. El extra indeterminates asegurarse de que $w$ no es el trivial de la palabra. Si $m$ es evaluado sobre los elementos de un grupo de tamaño de menos de $m$, entonces por el principio del palomar dos de los $x_i$ tienen el mismo valor, por lo que algunos $x_i x_j^{-1}$ es $1$, entonces $w$ evalúa a $1$. Mus $M(w)>m$. La duración de $w$ es en la mayoría de los $2N^2$, que es de orden $m^4$. Por lo tanto $\mu(k)$ es al menos del orden de $k^{1/4}$.

Tengo la sensación de que esta no es la mejor posible$\ldots$

Answer 2

La versión asintótica de esta pregunta planteada por Bjorn Poonen ha sido estudiado por Khalid Bou-Rabi general de los grupos, no sólo libre de los grupos. Es decir, dado G un residual finito grupo, para cada g podemos preguntar: ¿qué tan grande es la más pequeña finito grupo F, que detecta g, lo que significa que no existe f: G -> F, de modo que f(g) es no trivial? Ahora fijar una palabra métrica en G, y pregunte cómo el máximo de este "detección" número crece a medida que considere las palabras de longitud en la mayoría de los n.

Ver "la Cuantificación de los residuales de la finitud" y "Asintótico el crecimiento y el mínimo común múltiplo de los grupos" (con Ben McReynolds) por sus resultados. Por ejemplo, mientras que G es lineal, la función de crecimiento es polylog, significado asintóticamente menos de (log n)^k para algún k, si y sólo si G es prácticamente nilpotent.

Para responder a su pregunta, considerando la congruencia de los cocientes de SL₂Z, Bou-Rabi concluye que por cada palabra de longitud n en el grupo libre F₂, hay un grupo finito de orden O(n³), donde la palabra no es una identidad. El mismo límite se puede obtener de manera uniforme como sigue. Ury Hadad le da un límite inferior en "En el menor plazo de identidad en la finitos simples grupos de Lie tipo", lo que implica que el menor identidad en PSL₂(F_q) tiene una longitud de, al menos, (p-1)/3. Ya que el tamaño de PSL₂(F_q) es de orden p³, esto implica que cada palabra de longitud en la mayoría de los n deja de ser una identidad en un único grupo PSL₂(F_q) de la orden O(n³)!

Me enteré de este argumento de Martin Kassabov y Francesco Matucci del documento "Delimitación de la residual de la finitud de la libre grupos". En ella, el uso de un buen análisis de grupos finitos con elementos de la "gran orden" para construir una palabra de longitud n en el libre del grupo F de la₂ que es trivial en cada grupo finito de orden en la mayoría de O(n^2/3). Esta mejora en el límite inferior de n^1/3 debido a Bou-Rabi y McReynolds; creo que este es ahora el mejor cota inferior conocida.