Prueba de la relación inversa entre la función exponencial y el logaritmo natural

Question

Estoy trabajando para demostrar que $E(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ y $L(x) = \displaystyle\int_1^x\frac{1}{t}dt $ son funciones inversas entre sí.

Ya he comprobado que $(L \circ E)(x) = x$ para todos $x \in \mathbb{R}$ Sin embargo, estoy luchando para demostrar que $(E \circ L)(x)=x$ para todos $x > 0$ .

Mi trabajo para $L \circ E$ implicaba encontrar $(L \circ E)'(x) = 1$ para implicar mi resultado.

Algún consejo sobre cómo proceder para esto $(E \circ L)$ ¿Resultado?

Gracias.

Answer 1

Considere $$\left(\frac{(E\circ L)(x)}{x}\right)'=\frac{x\,(E\circ L)'(x)-(E\circ L)(x)}{x^2}\\=\frac{x\,(E'\circ L)(x)L'(x)-(E\circ L)(x)}{x^2} = \frac{(E\circ L)(x)-(E\circ L)(x)}{x^2} = 0$$

Entonces $(E\circ L)(x) = cx$ . Evaluar en $x=1$ .

Answer 2

He aquí una solución en la misma línea que tu otra dirección. Deja que $$y(x)=(E\circ L)(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\int_1^x\frac{1}{t}dt\right)^n\ .$$

Entonces tenemos

$$y(1) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\int_1^1\frac{1}{t}dt\right)^n= 1\ ,$$

ya que cada integral es $0$ para $n\geq 1$ . Entonces se puede diferenciar $y$ para ver

$$\begin{align}y'&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}\left(\int_1^x\frac{1}{t}dt\right)^{n-1}\frac{1}{x}\\ &=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}\left(\int_1^x\frac{1}{t}dt\right)^{n-1}\\ &=\frac{1}{x}y\ . \end{align}$$

Entonces tenemos el problema de valor inicial

$$\begin{align}y'=\frac{1}{x}y\\ y(1)=1\ , \end{align}$$

que tiene la solución única $$(E\circ L)(x)=y(x)=x\ .$$

Puedes justificar 1) la diferenciación término a término y 2) la solución de la EDO.