En la práctica, ¿cómo encontrar la prueba más potente de manera uniforme? ¿Se trata de forzar todas las pruebas de hipótesis posibles?
¿Podríamos demostrar que existe una prueba uniformemente más potente y que la que estamos utilizando no es óptima?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para un caso de prueba de hipótesis simple, hay un Lema de Neyman-Pearson mientras que para el caso de las hipótesis compuestas tenemos el teorema de Karlin-Rubin, que es un poco limitante (a los parámetros escalares y a las medidas escalares). Probablemente hay otras soluciones más generales en lugar del teorema de Karlin-Rubin, pero desgraciadamente las desconozco. Te recomiendo que eches un vistazo al libro de E.L. Lehmann y J.P. Romano Comprobación de hipótesis estadísticas (todo el capítulo 3 es sobre UMP, al menos en la 3ª edición).
Echemos un vistazo al lema de Neyman-Person y vayamos a un ejemplo de trabajo que debería darle una vaga idea de cómo crear dicha prueba UMP en algunos casos :
Estamos considerando una variable aleatoria $X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ y una prueba unilateral: $$H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2 ~ \text{against} ~ H_A: \sigma^2 > \sigma_0^2 $$ Tenemos una muestra de $n$ variables aleatorias independientes de distribución común $$X_1, \dots, X_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$$
Ahora, estamos calculando un ratio de probabilidad para esta muestra: $$ \frac{L(\sigma_2^2|X_1, \dots, X_n)}{L(\sigma_1^2|X_1, \dots, X_n)} = \frac{\frac{1}{(\sqrt{2 \pi\sigma_2^2})^n} \cdot \exp(-\frac{1}{2\sigma_2^2} \sum\limits_{k=1}^n X_k^2)}{\frac{1}{(\sqrt{2 \pi\sigma_1^2})^n} \cdot \exp(-\frac{1}{2\sigma_1^2} \sum\limits_{k=1}^n X_k^2)} $$
$$ \frac{L(\sigma_2^2|X_1, \dots, X_n)}{L(\sigma_1^2|X_1, \dots, X_n)} = (\frac{\sigma_1}{\sigma_2})^n \cdot \exp[(\frac{1}{2\sigma_1^2} - \frac{1}{2\sigma_2^2}) \cdot \sum\limits_{k=1}^n X_k^2] $$ En esta forma, vemos claramente que el cociente de probabilidades es monotónicamente creciente sólo con respecto al estadístico $$ T = \sum\limits_{k=1}^n X_k^2 $$
Usando el lema de Neyman-Person (mira esta forma particular Teorema 1: Lemma de Neyman-Person ) se puede decir que hay una región crítica de la forma $$ C = \{ (X_1, \dots, X_n) | \sum\limits_{k=1}^n X_k^2 \geq CritVal_{\alpha}\} $$ para una prueba uniformemente más potente con un nivel de significación de $\alpha$ .
Ahora, sólo debemos encontrar un valor crítico para un determinado $\alpha$ nivel. Es fácil ver que $$ \frac{1}{\sigma_0^2} \sum\limits_{k=1}^n X_k^2 \sim \chi_n^2 ~~~~ (\chi^2~\text{with $ n $ degrees of freedom}) $$
Podemos introducir una variable aleatoria auxiliar $A \sim \chi_n^2$ y encontrar dicho valor de $t$ satisfaciendo $$ P(A > t) = \alpha $$ entonces podemos afirmar $CritVal_{\alpha} = t \cdot \sigma_0^2$ .
En resumen, acabamos de construir una región crítica, por lo que tenemos la prueba UMP real para esta tarea en particular.
