secuencias y series ¿Converge?

Question

La secuencia dada por $a_1 = 3, a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + 1)$ para todos $n \geq 1$ . Determine el límite de la secuencia como $n \to \infty $ . Esto es sólo de la primera sección del capítulo. Por lo tanto, todavía no conocemos ningún teorema avanzado sobre las secuencias que podamos utilizar.

Answer 1

Pistas:

• $a_2 = \frac{1}{2}(3+1) = 2 \lt 3 = a_1$

• $\require{cancel} a_{n+1}-a_n = \frac{1}{2}(a_n+\bcancel{1}) - \frac{1}{2}(a_{n-1}+\bcancel{1}) = \frac{1}{2}(a_n - a_{n-1}) = \cdots = \frac{1}{2^{n-1}}(a_2-a_1) \lt 0$

• $L = \frac{1}{2}(L+1) \iff L = 1$

Answer 2

¿La secuencia aumenta o disminuye (o ninguna)? ¿Está acotada por arriba o por abajo (o ninguna de las dos cosas)?

Si una secuencia aumenta hasta un límite superior, converge. Si una secuencia disminuye hasta un límite inferior, converge. Si una secuencia no tiene límites o no es monótona (ni creciente ni decreciente), entonces diverge.

Esto es esencialmente el teorema de la secuencia monótona .

Answer 3

Sugerencia: Escriba algunos términos y así obtendrá:

$a_1 = 3$

$a_2 = \frac 12(3+1) = 2$

$a_3 = \frac 12(2+1) = \frac 32 = 1 \frac 12$

$a_4 = \frac 12 (1\frac 12 + 1) = \frac 54 = 1 \frac 14$ .

Entonces 1) Utiliza la inducción para demostrar que $a_n = 1 + \frac 1{2^{n-2}}$

Entonces 2) Demostrar para cualquier $0 < \frac 1{2^N} < \epsilon$ entonces $|a_{N+2} - 1| < \frac 1{2^N} < \epsilon$ .

Answer 4

Es fácil adivinar que el límite, si existe, es $1$ por lo que es mejor considerar la secuencia $b_{n}=a_{n}-1$ y entonces la relación dada se reduce a $b_{n+1}=b_{n}/2=b_{1}/2^{n}=1/2^{n-1}$ para que $b_{n} \to 0$ y $a_{n} \to 1$ . Nótese que también hemos encontrado aquí una expresión explícita para $a_{n} $ como $1+(1/2^{n-2})$ para todos $n\geq 1$ .