Encontrar un integrable $g(x,y) \ge |e^{-xy}\sin x|$

Question

Quiero utilizar el teorema de Fubini en $$\int_0^{A} \int_0^{\infty} e^{-xy}\sin x dy dx=\int_0^{\infty} \int_0^{A}e^{-xy}\sin x dx dy$$

Debe verificar que $\int_M |f|d(\mu \times \nu) < \infty$ . Estoy utilizando el teorema de Lebesgue, hasta ahora he llegado a $g(x,y)=e^{-y}$ pero no estoy seguro de que sea correcto.

Mi argumento es que si $x\in (0,1)$ entonces el $\sin x$ parte va a garantizar que la desigualdad se mantenga.

Answer 1

Puedes tomar $g(x,y)=e^{-xy}|\sin x|$ para obtener una función integrable en $[0,A]\times [0,+\infty)$ . De hecho, $$\int_0^{+\infty}e^{-xy}dy=\frac 1x$$ y la integral $\int_0^A\frac{|\sin x|}{x}dx$ es convergente.

Con $g(x,y)$ , no obtendríamos una función que mayoritariamente $e^{-xy}\sin x $ en todas partes (pero sólo en para $y\geqslant 1$ ), lo cual no es un problema.

Answer 2

Prueba con $g(x,y)=x\mathrm e^{-xy}$ entonces $|\mathrm e^{-xy}\sin x|\leqslant g(x,y)$ para cada no negativo $x$ y $y$ . Además, $\int\limits_0^\infty g(x,y)\mathrm dy=1$ por cada $x\gt0$ por lo que $\int\limits_0^A\int\limits_0^\infty g(x,y)\mathrm dy\mathrm dx=A$ , que es finito.