Es $\gcd(a,b) = \gcd(2a,b)$ ?

Question

Actualmente estoy aprendiendo la teoría de los números y específicamente los máximos comunes divisores. Estaba leyendo una solución al siguiente problema:

Los números de la secuencia $101,104,109,116,\ldots$ son de la forma $a_n = 100+n^2$ , donde $n = 1,2,3, ... $ para cada $n$ dejar $d_n$ sea el máximo común divisor de $a_n$ y $a_{n+1}$ . Encuentre el valor máximo de $d_n$ como $n$ se extiende a través de los enteros positivos.

Y la solución fue la siguiente (he numerado las líneas para que se pueda consultar fácilmente) :-

1. $\gcd(100 + n^2, 100 + (n+1)^2)$
2. $\gcd(100 + n^2, 100 + (n+1)^2-100-n^2)$
3. $\gcd(100 + n^2, 2n+1)$
4. $\gcd(200 + 2n^2, 2n+1)$
5. $\gcd(200 + 2n^2 -n(2n+1), 2n+1)$
6. $\gcd(200 - n, 2n+1)$
7. $\gcd(400 - 2n, 2n+1)$
8. $\gcd(401, 2n+1)$

La respuesta es $401$ que se obtiene cuando $n = 200$

Mi pregunta es si $\gcd(a,b) = \gcd(2a,b)$ ¿es cierto que se ha repetido dos veces en las líneas 4 y 7? Y si esto no es cierto, me gustaría una explicación para ambos pasos. Gracias.

Answer 1

En general, la respuesta es no. $1=\gcd(3,2)\neq \gcd(2\cdot 3,2)=2$ .

Pero si $b$ es impar, la respuesta es sí (y en su caso, $2n+1$ es impar).

En general, $\gcd(a,b)=\operatorname{gdc}(a\cdot k,b)$ si $\gcd(k,b)=1$

Answer 2

Dejemos que $\ d := (a,b).\ $ Entonces $\ (2a,b) = d\left(\dfrac{2a}d,\dfrac{b}d\right) = d\color{#c00}{\left(2,\dfrac{b}d\right)}\,$ por $\,\left(\dfrac{a}d,\dfrac{b}d\right) = \dfrac{(a,b)}d = 1$

Por lo tanto, concluimos que $\ (2a,b) = d = (a,b) \iff \color{#c00}{(2,b/d)} = 1\iff b/(a,b)\,$ es impar